平行四边形和梯形

官方数学老师·16 页·入门(第一次接触这个概念)·0 次浏览·3 天前
平行四边形梯形四边形几何入门

平行四边形和梯形

一次搞懂它们的边、角、对角线到底差在哪

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平行四边形梯形四边形几何入门

平行四边形和梯形

一次搞懂它们的边、角、对角线到底差在哪

1第 1 页 · 平行四边形和梯形

平行四边形

长方形和正方形你一定认识吧——它们四条边两两平行,角都是直角。想象一下:你把一张长方形纸往旁边轻轻一推,上下边还保持平行,但角被'推歪'了——这就是平行四边形。

两组对边分别平行
上下两条边互相平行,左右两条边也互相平行
对边长度相等
上边和下边一样长,左边和右边一样长
对角大小相等
左上角等于右下角,右上角等于左下角
把长方形纸往旁边一推对应 →平行四边形

对边依然平行,但'站歪了'——这就是平行四边形的来历

2第 2 页 · 平行四边形

画垂线

上页我们认识了平行四边形,知道对边平行。今天换个角度:如果两条直线交叉成直角会怎样?工人师傅测电线杆到马路的距离,不会斜着量,而是走最短的路——这条路就是「垂线」。

什么是垂线
两条直线相交成直角(90°),互相称为垂线
垂足
垂线与已知直线的唯一交点
画法
三角尺一条直角边贴已知直线,沿另一条直角边画
典型应用
点到直线的距离,就是垂线段的长度
旗杆和地面对应 →垂线和垂足

旗杆垂直于地面,立脚的那一点就是垂足

3第 3 页 · 画垂线

画平行线

上一节我们用三角板画出了和某条直线垂直的线。这一节反过来:能不能用三角板画出一条和已知直线「永远不相交」的线?

工具准备
一把直尺、一块三角板,两样配合用
沿直尺平移三角板
三角板一条直角边紧贴直尺边,沿直尺滑动到新位置
方向不变 = 平行
滑动只改位置不换方向,画出的线互相平行
典型应用
画平行四边形、梯形,以及它们的高
火车沿铁轨行驶对应 →三角板沿直尺平移

火车头方向始终朝前,三角板直角边方向始终不变

4第 4 页 · 画平行线

画长方形或正方形

画长方形或正方形:定义、要点与典型应用

画长方形或正方形
画长方形或正方形:定义、要点与典型应用
5第 5 页 · 画长方形或正方形

平行线

上页我们刚学会画平行线。操场跑道的两条直道、铁轨——不管延伸到多长多远,它们永远碰不到。这背后藏着什么规律?让我们从定义开始认识它。

定义
同一平面内,不相交的两条直线叫平行线
前提:同一平面
不在同一平面,再不相交也不算平行
必须是直线
曲线、线段、射线不算
距离处处相等
两条平行线之间的宽度永远不变
铁路的两条铁轨对应 →平行线

不管铁轨多长,两条始终保持相同间距,永远不会相交

6第 6 页 · 平行线

垂直

上页我们认识了平行线——两条永不相交的直线。可如果让两条线相交,会怎样?有的斜着交叉,有的正好交叉成直角——这种「正好交叉成直角」就叫垂直。

垂直的定义
两条直线相交成直角,就说它们互相垂直
垂足
两条直线垂直相交的那个点,叫垂足
垂直符号
用⊥表示,读作「垂直于」
判断方法
用量角器或三角板,看夹角是不是直角
房间墙角的两条边对应 →垂直关系

墙角两条边正好夹成直角,就是互相垂直

7第 7 页 · 垂直

垂足

上节课我们学了'垂直'——两条线相交成直角。但你有没有想过:这个直角到底落在哪条线上的哪个位置?这个特殊的'落点',今天就来认识它。

定义
垂线与另一条线相交的那个点,就叫垂足
怎么标
用字母(如A、H)标在交点上,方便描述位置
在哪见过
长方形的四个角,其实都是四个垂足
铅笔垂直点下去对应 →垂足

铅笔垂直点本子,笔尖落到纸面的那个点就是'垂足'

8第 8 页 · 垂足

点到直线的距离

上节课我们学会了画垂线,还认识了垂足。从一个点出发,还能向一条直线画很多条线段,到底哪一条最短?这就是我们今天要学的——点到直线的距离。

定义
从直线外一点向直线画垂线段,这段线段的长度叫做点到直线的距离
唯一最短
从一点到直线可画无数条线段,只有垂线段最短,其他都比它长
距离是长度
距离是一个数值,量出来是多少就是多少,不等于线段本身
伸手够墙上的画对应 →点到直线的距离

手指到画最近时,手臂一定跟墙垂直

9第 9 页 · 点到直线的距离

平行四边形的高

上一页我们学了'点到直线的距离'——从一点到直线画一条垂线段,它是最短的。今天拿出这把'垂直尺子',去量一量平行四边形的'高'。

什么是高
从一条底边上的任一点,向对边画的垂直线段
必须垂直
高必须与底边垂直相交,斜着画的不是高
有两条高
两组平行边各对应一条高;选哪条边作底,就量它与对边的垂直距离
高比斜边短
因为高是垂线段,而垂线段是两点间的最短距离
小朋友站直量身高对应 →量平行四边形的高

身高要从头顶垂直量到脚下,不能沿身体斜着量;高也要垂直于底边,不是沿斜边

10第 10 页 · 平行四边形的高

平行四边形的底

上节课我们画高,第一步是先选一条边作为起点——这条边就叫「底」。今天就来专门认识一下,什么叫平行四边形的「底」。

什么是底
底就是平行四边形的任意一条边
底与高是一对
选哪条边当底,高就必须垂直于那条边
底不是固定的
同一个平行四边形,4 条边都能当底
长方形的底对应 →平行四边形的底

长方形的底是固定的一条长边;平行四边形没有固定哪条是底,4 条边都能当

11第 11 页 · 平行四边形的底

梯形

平行四边形有两组对边平行,如果其中一组不再平行了,只剩一组平行呢?这样'歪了一边'的图形就是梯形。

梯形的定义
只有一组对边平行的四边形,'只有'两字是关键
上底和下底
平行的那一组对边,通常短的在上叫上底
两腰
不平行的那一组对边
梯形的高
上下底之间的垂直距离
特殊梯形
直角梯形(有直角)和等腰梯形(两腰相等)
水坝的横截面对应 →梯形

上窄下宽的轮廓就是梯形,两侧斜坡对应梯形的两腰

12第 12 页 · 梯形

等腰梯形

上页我们认识了梯形:只有一组对边平行。如果那两条不平行的边长度恰好相等,就成了等腰梯形——梯形家族里最对称的一位。

什么是等腰梯形
梯形中两条不平行的腰(斜边)长度相等
两个底角相等
同一底上的两个角大小相等
对角线相等
两条对角线的长度也相等
轴对称图形
沿两底中点的连线对折后两边完全重合
房屋的屋顶对应 →等腰梯形

屋顶左右两个斜面一样长、对称,正好就是等腰梯形的样子

13第 13 页 · 等腰梯形

直角梯形

上节课认识了等腰梯形——两腰等长。今天来看梯形家族的另一位成员:直角梯形。想象一下路边无障碍坡道的侧面——一边直立(垂直人行道),一边斜着下来。

什么是直角梯形
有一条腰垂直于两底的梯形
两个直角的位置
同一条底边上的两个角都是直角,这条底边两侧的腰一直一斜
直腰的双重身份
这条垂直的腰既是梯形的腰,又是梯形的高
长方形斜切一刀对应 →直角梯形

把长方形的右上角斜着切掉,剩下那块就是直角梯形

14第 14 页 · 直角梯形

本节要点

  • 平行四边形与梯形的分水岭:是否两组对边都平行
  • 高和底永远成对出现,高必须垂直于底
  • 点到直线的距离,就是垂线段的长度
  • 画平行线靠三角板「平移」,画垂线靠三角板「对齐」
  • 梯形家族按腰分:等腰梯形两腰等,直角梯形有直角
延伸主题:平行四边形的面积三角形的特性组合图形的面积
15第 15 页 · 本节要点

课后思考

先自己想,再翻参考答案——重点不是对错,是你的思路。

1平行四边形到底算不算梯形?说说你的理由。

参考答案看梯形的定义——'只有一组对边平行的四边形'才叫梯形。平行四边形有两组对边平行,所以不算梯形。

2梯形的高不变,把上底和下底同时加长,面积会怎么变?为什么?

参考答案面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2,上底与下底之和变大,面积也跟着变大。

3长方形算不算平行四边形?正方形呢?说说你的理由。

参考答案都算。长方形是四个角都是直角的平行四边形;正方形是四条边都相等的平行四边形——它们都是特殊的平行四边形。

16第 16 页 · 课后思考