（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一）
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线性系统理论 · 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一）
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线性系统理论 · 第二周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（一）
LST1-1-1 状态、状态空间
状态是最少的一组变量：知道它与输入，即可唯一确定系统的未来行为。
状态定义
概括历史影响的最小变量组
状态空间
以状态变量为坐标张成的空间
LST1-1-2 状态、状态空间
状态空间描述由两个方程组成：状态方程与输出方程。
状态方程
一阶微分方程组描述状态演化
输出方程
输出是状态与输入的线性组合
LST1-1-3 状态、状态空间
状态空间描述不唯一：同一系统可有无数组等价的状态变量选取。
不唯一性
线性非奇异变换得到等价描述
不变量
特征多项式与传递函数阵保持不变
LST1-2-1 由输出输入描述
从微分方程出发写状态空间描述：选状态变量化高阶为一阶。
选状态
取输出及其各阶导数为状态
能控规范形
系数按行排成友矩阵形式
LST1-2-2 由输出输入描述
含输入导数项的微分方程：引入中间变量避免输入求导。
难点
输入导数直接选状态会不可实现
处理
按系数公式组合出等价状态变量
LST1-2-3 由输出输入描述
传递函数出发的实现问题：能控能观规范实现与最小实现。
实现
能写出给定传递函数阵的状态空间
最小实现
既可控又可观时阶数最低
LST1-3-1 由方框图输入输
方框图直接读状态空间：每个积分器输出选作一个状态。
积分器即状态
积分器个数就是系统阶数
列写方法
积分器入口写导数，出口写状态
LST1-3-2 由方框图输入输
复杂方框图的化简列写：先整理信号流，再逐积分器列方程。
先化简
合并串并联环节减少变量
再列写
逐个积分器写状态方程并组装
LST1-4-1 由系统状态空间
状态空间到传递函数阵的公式：G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D。
推导思路
对状态方程做拉氏变换并消去状态
预解矩阵
(sI−A)⁻¹ 承载全部模态信息
LST1-4-2 由系统状态空间
传递函数阵的元素是标量传递函数：第 ij 元即输入 j 到输出 i 的通道。
元素含义
g_ij(s) 是单输入单输出通道特性
耦合体现
非对角元即通道间的相互影响
LST1-4-3 由系统状态空间
同一系统不同实现共享同一传递函数阵：外部描述只反映可控可观部分。
实现不唯一
变换不改变 G(s)
隐藏模态
不可控或不可观模态在 G(s) 中消失
LST1-4-4 由系统状态空间
零极点与特征多项式的关系：传递函数极点是 A 特征值的子集。
极点来源
det(sI−A)=0 的根是候选极点
可能相消
不可控不可观模态与零点相消不出现
本节要点
- ✓状态 = 概括历史的最小变量组
- ✓描述 = 状态方程 + 输出方程
- ✓积分器输出天然是状态
- ✓G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D，只含可控可观部分
延伸主题：由方框图写一次状态空间用公式导出传递函数阵
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1状态空间描述与传递函数描述的本质区别是什么？
参考答案传递函数只刻画外部输入输出关系，状态空间同时保留内部状态演化。因此状态空间能分析不可控、不可观模态，传递函数则把它们隐藏——内部描述信息更完整。
2为什么含输入导数的微分方程不能直接把导数选作状态？
参考答案对输入求导在物理上不可实现且会放大噪声。引入中间变量把导数吸收进状态组合，得到不含输入导数的标准状态方程，才是可实现的描述。
3传递函数阵极点为什么可能少于 A 的特征值？
参考答案若某模态不可控或不可观，它的极点会与零点在 G(s) 中相消。传递函数阵是外部描述，只反映既能被输入激励、又能从输出观测的那部分模态。