数学大学
实数理论
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
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数学大学
实数理论
高等数学习题课 · 第二章 数列极限
区间套定理
闭区间套逐层收紧，必套住唯一一点：实数完备性的几何化身。
条件
闭区间逐个包含且长度趋于零
结论
存在唯一的公共点属于所有区间
Bolzano定理
有界无穷点集必有聚点：无限个点挤在有限区间里必然堆积。
聚点
任何邻域都含该集异于自身的点
保证
有界无穷集至少存在一个聚点
Cauchy收敛准则
柯西收敛准则：数列收敛 ⇔ 充分靠后的任意两项充分接近。
条件
m,n 足够大时 |aₙ−aₘ| 可任意小
优势
无须预知极限值即可判定收敛
定义总结
实数完备性诸定理等价：区间套、聚点、柯西准则与确界定理互通。
等价网络
任一定理可推出其余各条
地位
它们共同刻画实数无「漏洞」
本节要点
- ✓区间套：唯一公共点
- ✓有界无穷集必有聚点
- ✓柯西准则不依赖极限值
- ✓完备性定理彼此等价
延伸主题：用区间套证聚点定理用柯西准则判一个数列
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1这些定理在有理数集上为什么会失败？
参考答案有理数有「漏洞」：如√2 的位置。单调有界的有理数列可能收敛到无理数，闭区间套可能套住无理点，柯西有理数列可能无有理极限。完备性正是「填满漏洞」的代名词。
2柯西准则在实际中有什么优势？
参考答案很多场合极限值未知甚至不存在表达式，柯西准则只检验「尾部稳定性」即可判定收敛，因此在迭代算法与数值分析中特别实用。
3聚点与极限有什么联系？
参考答案点列收敛 ⇔ 其取值集合至多加上极限点构成紧集，极限值正是唯一的聚点。聚点定理因此成为「有界数列必有收敛子列」的证明基础。