一维蒸发控制燃烧

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液滴燃烧蒸发控制扩散火焰边界层理论

一维蒸发控制燃烧

拆开液滴火焰的黑箱：蒸发如何成为整场燃烧的速率瓶颈

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液滴燃烧蒸发控制扩散火焰边界层理论

一维蒸发控制燃烧

拆开液滴火焰的黑箱：蒸发如何成为整场燃烧的速率瓶颈

1第 1 页 · 一维蒸发控制燃烧

液滴燃烧的物理图像

上一节我们把燃烧压成「蒸发速率决定一切」的一维问题——但一颗真实液滴悬浮在空气中时，它的内部是什么样子？本页把它画成一张可识别的物理图像。

球对称四区结构
液滴核→燃料蒸气→火焰片→氧化剂，由内向外层层嵌套
液面温度≈沸点
火焰向液面导热，恰好供应汽化潜热，使界面维持准稳态
火焰片近似
反应无限快，燃料与氧在极薄壳层内同时耗尽
d² 律
液滴直径的平方随时间线性减小，燃烧面积近似不变
传质数 B
Spalding 无量纲数，统辖火焰位置与燃烧强度
发动机喷油嘴雾化的油滴对应 →液滴燃烧的四区结构

油核=液滴；外围火焰=火焰片；外侧空气=氧化剂区；中间输运=蒸气扩散

d2(t)=d02−K t,K=8ρgDgρlln⁡(1+B)d^2(t)=d_0^2-K\,t,\quad K=\tfrac{8\rho_g D_g}{\rho_l}\ln(1+B)
2第 2 页 · 液滴燃烧的物理图像

模型的核心假设

经典液滴燃烧模型用十项假设，把复杂过程压缩为一维传热传质问题。

1
球形一维
①液滴保持球形；②过程仅有径向一维变化
2
孤立静止
③液滴孤立且静止；④环境温度、组成和压力均匀
3
准稳控制
⑤气相按准稳态处理；⑥蒸发由界面外侧传热传质控制
4
液相均匀
⑦液滴等温，忽略内部对流与循环
5
相面与物性
⑧界面满足相平衡；⑨物性取常数，Le=1
6
辐射边界
⑩忽略热辐射，避免引入表面辐射热损失
3第 3 页 · 模型的核心假设

一维模型的几何示意

沿径向 r 从球心向无穷远展开，依次经过液相区、蒸气区、产物区，两个关键界面是液面与火焰面。

图解渲染中…
a1：球心：球对称原点，液相燃料在 r<rs 内a2：液面：液→气相变发生处，rs(t) 随燃烧减小a3：火焰面 rf：燃料蒸气与 O₂ 的反应薄层a4：无穷远：环境空气与产物扩散的远场边界
4第 4 页 · 一维模型的几何示意

物理过程的时间演化

自上而下读时间：液滴受热→蒸发→建火焰→缩径→燃尽；a3→a4 分叉展示蒸气与氧化剂双向扩散。

图解渲染中…
a4：扩散火焰——包裹液滴的薄球壳，蒸气与氧在此反应a5：D²定律——准稳态期直径平方随时间线性递减a6：末期非稳态——D 小时相对温度/浓度场不再冻结
5第 5 页 · 物理过程的时间演化

液滴数目守恒

前页看到每个液滴都在变小——但先得回答一个更基础的问题：这条线上一共有多少个液滴？这页讲数目方程，以及它背后藏着的假设。

数目方程
dN/dt = 0，液滴总数不随时间变化，是最简形式
隐含假设
液滴之间不合并、不碎裂、不新生也不消失
物理含义
数目锁定后，问题简化为追踪每个液滴的半径变化
数目≠质量
数目守恒但每个液滴因蒸发持续缩小，总质量不断减少
桌上的N根蜡烛对应 →液滴数目守恒

蜡烛根数始终是N，但每根都在烧短；液滴数不变，每个都在蒸发缩小

$N(t) = N_0$
6第 6 页 · 液滴数目守恒

液滴相质量守恒

上一页建立了液相的准稳态温度分布——内部结构不随时间变化。但液滴本身在缩小：燃料一点一点蒸发进入气相。质量守恒方程就来回答「缩多快、按什么规律」这个问题。

质量变化率
dm_d/dt = -ṁ_d，右端即液面蒸发率
唯一出口
液相无内部汽化通道，质量只能从表面离开
气相驱动
ṁ_d 由界面气侧的质量/热量输运决定，两相天然耦合
通向 d² 定律
联立能量方程可积分出 d²/dt = const，即 d²-law
气球缓慢漏气对应 →液滴失质量

只有一个出口（球嘴/液面），失重速率取决于该处的局部条件

dmd/dt=−4πrd2kgcpln⁡(1+BM)dm_d/dt = -4\pi r_d^2 \frac{k_g}{c_p}\ln(1+B_M)
7第 7 页 · 液滴相质量守恒

液滴守恒方程推导

从相空间连续方程出发，经积分与取矩两步，得到含蒸发源项的液滴相方程。沿箭头方向阅读，每一步是一次数学运算。

图解渲染中…
a1：相空间=位置×速度，分布函数守恒a3：n(x,t)：单位体积内的液滴数a4：乘以 m_d 并对尺寸空间积分a5：右侧含蒸发引起的质量损失源项
8第 8 页 · 液滴守恒方程推导

总质量守恒方程

上一页我们守恒了液滴本身的数目和质量。现在把目光转到液滴周围的气相——蒸发出来的蒸气从液滴表面一路扩散到远处，这条路径上质量流率是否处处相等？这就需要写出气相的总质量守恒方程。

控制体取球壳
取内径 r、外径 r+dr 的薄球壳，分析单位时间进出质量差
准稳态假设
气相场不随时间积累，流入量等于流出量
积分结果
r²ρv = 常数，任意球面 4πr²ρv 为同一质量流率
物理意义
液滴每秒蒸发的质量 = 通过任一球壳的质量流率
河流过不同宽度河道对应 →球对称质量流守恒

河道宽处慢、窄处快，但流量处处相等；类似地远处 ρv 小、近处大，但 4πr²ρv 处处相等

∂ρ∂t+1r2∂(r2ρv)∂r=0  →准稳态  m˙=4πr2ρv=const\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 \rho v)}{\partial r} = 0 \;\xrightarrow{\text{准稳态}}\; \dot{m} = 4\pi r^2 \rho v = \text{const}
9第 9 页 · 总质量守恒方程

质量流率与质量通量

上一页我们写出了总相质量守恒，方程里出现了'蒸发'这一项。但'蒸发'该如何量化？是算一秒蒸发了多少，还是算一平方厘米一秒蒸发了多少？这一页，我们把'蒸发'拆成两个层次。

质量流率 ṁ
单位时间内蒸发的总质量 kg/s，是整体量，等于 dm/dt
质量通量 ṁ″
单位面积单位时间内通过的质量 kg/(m²·s)，是局部强度
积分关系
ṁ = ∫ ṁ″ dA；球对称液滴下简化为 ṁ = 4πr² ṁ″(r)
为何要分两个
守恒方程写成微分形式时用通量描述局部；积分后才能得到流率
漏气的气球对应 →蒸发的液滴

气球每秒漏多少=流率；壁面单位面积每秒漏多少=通量；半径缩时二者行为不同

m˙=4πr2 m˙′′(r),m˙′′=−ρD∂Y∂r\dot{m} = 4\pi r^2 \,\dot{m}''(r), \quad \dot{m}'' = -\rho D \dfrac{\partial Y}{\partial r}
10第 10 页 · 质量流率与质量通量

总守恒方程的推导逻辑

沿径向把局部守恒一步步推到整体：微分→积分→两端边界→总守恒。

图解渲染中…
A1：半径 r 处厚度 dr 的球壳，作为推导起点A3：积分区间从液面 r=0 到远场 r=∞A6：ṁ_a + ṁ_f = ṁ_g：两端通量直接耦合
11第 11 页 · 总守恒方程的推导逻辑

气相组分守恒方程

上一页给出了气相总质量守恒,现在单独审视一种组分——燃料蒸气。蒸气既要随 Stefan 流向外输运,又必须靠浓度梯度向内扩散,两种机制必须同时存在。

球壳控制体
在半径 r 处取一薄壳,统计燃料蒸气的进、出与积聚
对流项
ṁY_F:Stefan 流携带燃料通过任意球面的总量,与 4πr² 无关
扩散项
-4πr²ρD dY_F/dr:浓度梯度驱动的扩散总量,方向与对流相反
稳态方程
对流+扩散总通量为常数,等于远处的 ṁY_F,∞
物理含义
扩散必须逆着 Stefan 流把燃料 '送回' 液滴,蒸发才可持续
逆流而上的小船对应 →燃料蒸气的扩散输运

水流(Stefan 流)把船冲向下游,船靠划桨(扩散)逆行到达源头

m˙YF−4πr2ρDdYFdr=m˙YF,∞\dot{m} Y_F - 4\pi r^2 \rho D \frac{dY_F}{dr} = \dot{m} Y_{F,\infty}
12第 12 页 · 气相组分守恒方程

气相能量守恒方程

前面我们守恒了组分，那燃烧释放的热量去了哪里？温度场本身也得守恒——而它和浓度场之间，存在一种「互相喂养」的关系。

能量收支平衡
流入能量减去流出能量，等于燃烧释放的热量
热源：化学反应
燃烧反应速率 ω 乘以单位质量热值 Q，热来自这里
两种输运方式
对流 ρu·cp·T 带走热量；扩散 k·∂T/∂x 沿温度梯度传导
反应速率的双重依赖
ω 既取决于温度 T（阿伦尼乌斯），也取决于燃料质量分数 Y_F
T 与 Y 必须联立求解
温度场和浓度场耦合，无法各算各的
炉子里烧木头对应 →T 与 Y_F 的耦合

木头多火就旺；火越旺木头烧得越快——二者互相加强

ρucpdTdx=ddx ⁣(kdTdx)+ω˙ Q\rho u c_p \frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}\!\left(k \frac{dT}{dx}\right) + \dot{\omega}\,Q
13第 13 页 · 气相能量守恒方程

组分扩散与能量传递的耦合

三种分子输运在液滴表面汇合，Sc 与 Le 分别描述动量、热量与质量扩散的相对快慢

图解渲染中…
A：动量扩散系数 ν=μ/ρ，量纲 m²/sB：热扩散系数 α=λ/(ρcp)，量纲 m²/sC：Fick 质量扩散 D_AB，量纲 m²/sH：火焰→液滴的导热通道，提供相变潜热
14第 14 页 · 组分扩散与能量传递的耦合

边界条件设定

上一页我们推完了气相守恒方程组，但方程再多也得有边界条件才能求解——就像河道两端必须设水位，才能算整个河道的水流分布。

表面温度边界
液滴温度等于湿球温度，被相平衡固定
表面浓度边界
燃料蒸气浓度等于饱和值，气液界面平衡
表面能量平衡
传入热量等于蒸发热，决定质量蒸发率
外边界温度
r→∞处温度恢复环境温度 T∞
外边界组分
氧气浓度回到环境值，燃料蒸气浓度归零
河道两端的固定水位对应 →液滴内外两侧边界

上下游两端定值决定河道内流场分布

r=rs: T=Ts, YF,s=YF,satr→∞: T=T∞, YO,∞=YO,ambr=r_s:\ T=T_s,\ Y_{F,s}=Y_{F,sat}\newline r\to\infty:\ T=T_\infty,\ Y_{O,\infty}=Y_{O,amb}
15第 15 页 · 边界条件设定

液滴动量守恒方程

前面我们盘点了液滴有多少、质量怎么变，但漏了关键一问：液滴在气流里到底飞多快、跟不跟得上气体？这就要把牛顿第二定律搬到液滴头上——液滴动量守恒方程。

单液滴牛顿定律
每颗液滴遵循 m·du/dt=ΣF，速度由合力决定
阻力占主导
气液相对速度产生阻力，是加速/减速液滴的关键
阻力系数依赖 Re
C_D 随雷诺数变化，层流区 ~24/Re，湍流区趋于常数
终端速度平衡
最终 u_d → u_g，阻力消失，进入随流状态
顺水行舟对应 →液滴被气流带到接近气流速度

水流推船，最终船速≈水速；阻力把液滴带到气流速度

mdduddt=12CDρgAd∣ug−ud∣(ug−ud)+mdgm_d \frac{du_d}{dt} = \tfrac{1}{2} C_D \rho_g A_d |u_g-u_d|(u_g-u_d) + m_d g
16第 16 页 · 液滴动量守恒方程

drag系数与阻力

上一讲我们写了液滴动量守恒，但阻力项还没细化。液滴与气体有相对速度，气体就像迎面来的风——越快、越稠，阻力越大。如何把这种'风阻'写成公式？

气动阻力
液滴相对气体运动所受的阻力，沿相对速度反向
阻力系数Cd
无量纲数，描述流动状态与形状对阻力的影响
Re依赖性
Cd不是常数，随Re变化可跨多个数量级
Stokes极限
Re≪1时Cd=24/Re，粘性切应力主导
Newton极限
Re≫1时Cd≈0.44，形体阻力主导
逆风骑自行车对应 →液滴受气动阻力

风速越快、车身投影面积越大，阻力越大；Cd类似车身流线系数

Fd=12ρg ∣u⃗g−u⃗d∣2 Cd AdF_d = \tfrac{1}{2}\rho_g\,|\vec{u}_g - \vec{u}_d|^2\,C_d\,A_d
17第 17 页 · drag系数与阻力

完整模型方程组一览

先分液/气两列看五式，中间 c1 是耦合枢纽，底下 d1 虚线闭合全场。

图解渲染中…
c1：蒸发速率ṁ，液气两相交换的枢纽量d1：全场总质量守恒，把液相+气相质量变化求和=0
18第 18 页 · 完整模型方程组一览

d²定律的适用条件

d²定律是经典结论，但前提严格；搞混适用边界是常见误区。

d²定律成立
  • 准稳态：气相传热远快于液滴蒸发
  • 单液滴：孤立、球对称、无相互作用
  • 环境静止或对流效应可忽略
  • 常压、Lewis数≈1、物性常数
需完整模型
  • 非稳态显著：蒸发初期或末期
  • 多液滴：集团效应、相互作用不可忽略
  • 强对流：强迫流动或湍流环境
  • 高压、Le明显偏离1、变物性
单一静止液滴的准稳态阶段用d²定律；多液滴、强对流、非稳态必须用完整方程组。
19第 19 页 · d²定律的适用条件

例题：静止环境中的液滴燃烧

先分清已知条件与求解目标，再据此选择守恒方程和边界条件。

1
已知初态
给出初始液滴直径、液相温度和材料物性，作为计算起点。
2
固定环境
环境没有宏观流速；远场温度和组分浓度视为固定。
3
明确目标
目标是求液滴直径随时间变化，并得到蒸发率与蒸发寿命。
4
核对假设
确认球对称、准定常等假设适用，并确定界面和边界条件。
20第 20 页 · 例题：静止环境中的液滴燃烧

求解步骤一：建立方程组

上一页把守恒律摊成了一桌，但求解不是照单全收。第一步是用已知条件把方程瘦身——哪些机制不存在，对应的项就直接划掉，留下来的才进入真正的求解。

对称性降维
球对称使方程只与 r 有关，三维场问题立刻降为一维球坐标
气相准稳态
液滴直径变化慢，气相场每个瞬间可视为稳态，时间导数项归零
质量流率恒定
总质量守恒在稳态下积分给出 ṁ=const，从液面到无穷远处处相同
压力均匀分布
低马赫数下压力梯度可忽略，动量方程被绕过，能量方程大幅简化
考前画重点，删掉不考的对应 →用已知条件把不涉及的项砍掉

静止环境→对流项没了；准稳态→时间导没了；逐项瘦身

m˙=4πr2ρV=const\dot{m} = 4\pi r^{2}\rho V = \text{const}
21第 21 页 · 求解步骤一：建立方程组

求解步骤二：求解火焰温度

步骤一列出的是耦合方程组——T_f 同时出现在组分方程和能量方程里。突破口是火焰面：这层无限薄的反应区里，能量收支必须当场平衡，这就把 T_f 唯一确定了。

火焰面=能量分水岭
燃料蒸气和氧气在此相遇燃烧，是冷区与热区的分界
化学能全部转化为热
绝热假设下没有散热，反应释放的热全部用于加热气体
火焰面能量守恒
燃烧放热 = 倒流回液滴的热 + 产物向外的焓流
代入化学计量比 ν
用 ṁ_O = ν·ṁ_F 把两侧质量流关联，约掉未知流率
堤坝分流对应 →火焰面能量分配

燃烧放热像上游来水，火焰是堤坝，一侧倒灌蒸发液滴、一侧顺流加热产物

Tf=Ts+νT∞+qc/cp1+νT_f = \frac{T_s + \nu T_\infty + q_c/c_p}{1+\nu}
22第 22 页 · 求解步骤二：求解火焰温度

求解步骤三：求蒸发速率

步骤二求出了火焰温度 T_f,接下来要回答:每秒多少燃料蒸发?这要在液滴表面算一笔「能量收支账」——火焰传热进来,一部分加热液滴,另一部分把液体变成蒸气带走。

表面能量平衡
导热进 = 蒸发潜热 + 向液滴深处的显热回流
传递数 B
无量纲数,把温差项 c_pΔT/L_v 与浓度项打包
T_f 进入 B
步骤二算出的火焰温度 T_f 直接决定 B 的大小
解析表达式
ṁ = 2π r_s·(k/c_p)·ln(1+B),与 r_s 一次方成正比
通向 d² 定律
ṁ ∝ r 配合液滴守恒即得 d²-d₀² = -k_b·t
水龙头出水对应 →液滴蒸发

B 是「水压」(驱动势),r_s 是「管径」(几何),两者共同决定流量 ṁ

m˙=2πrskgcpln⁡(1+B)\dot{m} = 2\pi r_s \frac{k_g}{c_p}\ln(1+B)
23第 23 页 · 求解步骤三：求蒸发速率

求解步骤四：d²定律验证

上一步求出了蒸发速率 ṁ 与 d 的关系——ṁ 正比于 d。把 ṁ 换算成直径的时间导数后会发现，d² 随时间线性衰减，这就是著名的 d² 定律。

� ∝ d
上步结论：蒸发速率与液滴直径成正比
质量-直径关系
m = πρ_l d³/6，两端对 t 求导把 ṁ 换成 dd/dt
d² 线性衰减
积分得到 d²(t) = d₀² − Kt，d² 匀速归零
蒸发常数 K
综合物性、环境温度、燃料种类等所有参数
热水中的冰球融化对应 →液滴燃烧的 d² 定律

表面过程主导，速率∝表面积∝d²，所以 d² 随时间线性减小

d2(t)=d02−K td^2(t) = d_0^2 - K\,t
24第 24 页 · 求解步骤四：d²定律验证

知识要点回顾

  • ✓蒸发由气相扩散控制，液滴相只负责供燃料
  • ✓Le=1 时组分/能量方程数学同形，温度浓度场几何相似
  • ✓d² 定律成立需准稳态、Le≈1、忽略辐射与对流
  • ✓三类边界条件封闭方程组：液滴表面、无穷远、火焰面
  • ✓火焰温度由能量平衡决定，与液滴尺寸无关
延伸主题：有限化学反应速率修正喷雾燃烧的多液滴耦合高压下的蒸发模型修正
25第 25 页 · 知识要点回顾

模型的局限性

前面回顾了完整模型和d²定律——球对称、准稳态、火焰面，推导很简洁。但假设一旦松动，结论就要打折扣。这页划清适用边界。

孤立液滴假设
忽略相邻液滴干扰，喷雾足够稀疏时才成立
准稳态假设
液滴缩小远慢于气相响应，气相按稳态处理
单位 Lewis 数
热扩散率 = 质量扩散率，能量与组分方程解耦
火焰面近似
反应在火焰面上瞬时完成，燃烧区厚度为零
忽略辐射换热
高温火焰辐射显著时需另作处理
球形奶牛对应 →一维液滴燃烧模型

把真实复杂系统强行理想化为简单几何，能抓住主规律，但条件一变就失真

26第 26 页 · 模型的局限性

课后思考

三个开放性问题深化理解

课后思考
三个开放性问题深化理解
27第 27 页 · 课后思考
一维蒸发控制燃烧 · 知识图解