二项分布与超几何分布

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✦ 二项分布与超几何分布数学二项分布与超几何分布二项分布

抽样机制方差修正极限收敛

二项分布与超几何分布

搞清有放回与无放回的本质差异，看懂方差修正与极限收敛的完整图景

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抽样机制方差修正极限收敛

二项分布与超几何分布

搞清有放回与无放回的本质差异，看懂方差修正与极限收敛的完整图景

1第 1 页 · 二项分布与超几何分布

建立二项分布模型

工厂产线稳定，次品率固定为 2%。质检员每抽 1 件产品判合格或不合格，这便是单次伯努利试验。连续抽 20 件，次品数 X 该用什么分布描述？

伯努利试验

单次试验仅有两个互斥结果：成功或失败

n 次独立重复

每次抽样互不影响，结果不传递

成功概率 p 不变

每次判为'成功'的概率恒定，0<p<1

记号 X ~ B(n, p)

三条件齐备，X 服从参数为 n、p 的二项分布

工厂逐件抽检对应 →二项分布建模

每件产品就是一次伯努利试验，合格/不合格对应失败/成功

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n

2第 2 页 · 建立二项分布模型

建立超几何分布模型

上一节我们用二项分布处理「放回抽样」的问题。但现实里很多场景样本抽走就回不来了——质检中产品被抽走就报废，摸奖时彩票不会塞回去。这正是超几何分布要解决的问题。

不放回抽样

每次抽到的样本不再放回，下一次从剩余中取

有限总体

总体大小 N 已知且有限，不能当成无穷

抽样依赖

各次抽取相互影响，每次成功概率都在变

三个核心参数

N（总体）、K（其中成功数）、n（抽取数）

组合计数

用 C(N,n) 种抽取方式中恰好含 k 个成功的比例

从一副扑克里抽 5 张对应 →超几何分布

每抽走一张，剩余牌的花色构成就变，下一张抽到指定花色的概率跟着变

P(X=k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

3第 3 页 · 建立超几何分布模型

伯努利试验

前几页讲的都是怎么用二项分布、超几何分布建模型，这一页回到这些模型的起点——伯努利试验。把它当作所有二项/超几何分布共享的「原子」，看清它的三条硬约束。

双重结果

每次试验只有「成功」或「失败」两种互斥结果

概率恒定

每次成功的概率 p 保持不变，失败概率为 1-p

相互独立

任一次试验的结果都不影响其他次

可重复条件

在相同环境下可以反复进行同一试验

工厂流水线质检对应 →伯努利试验

每个产品只有合格/不合格；同产线标准不变 p；一个产品不影响另一个

P(X=1)=p,\;\;P(X=0)=1-p

4第 4 页 · 伯努利试验

n重伯努利试验

上一页我们讲了「一次伯努利试验」：单次、两种结果、概率p稳定。如果把这样一次试验独立地重复n次,就得到n重伯努利试验——它是二项分布的直接来源。

n次独立重复

把同一个伯努利试验在相同条件下独立做n遍

每次两结果

每次仍是「成功/失败」二选一,结构与单次一致

概率p不变

每次成功的概率都是同一个p,不随次数而变

指向二项分布

n次中成功次数k就服从二项分布B(n,p)

流水线有放回抽检对应 →n重伯努利试验

源源不断的产线上抽n件,每件次品率p稳定且互不影响

X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n,\quad X_i \overset{iid}{\sim} B(1,p)

5第 5 页 · n重伯努利试验

二项分布

从n重伯努利试验出发——我们已经知道每次试验独立、只分两种结果。现在追问：n次试验里「成功」出现了几次？这个随机变量就服从二项分布。

定义与记号

成功次数X的分布，记作X~B(n,p)，由n与p两参数确定

三个前提

独立重复、仅两结果、成功概率p始终不变

取值范围

k=0,1,...,n，共n+1种可能取值

期望与方差

E(X)=np，Var(X)=np(1-p)

抛硬币n次对应 →二项分布

正面=成功，反面=失败；数正面出现次数就是X的取值

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\ldots,n

6第 6 页 · 二项分布

二项分布的均值与方差

你已经知道二项分布 B(n,p) 描述 n 次独立伯努利试验的成功次数。单次试验的均值是 p、方差是 p(1-p)，把它们累加起来会得到什么？

均值

E(X) = np，等于次数 n 乘以单次成功概率 p

方差

D(X) = np(1-p)，独立试验的方差可直接累加

标准差

σ = √(np(1-p))，刻画 X 偏离均值的幅度

边界情形

p=0 或 p=1 时方差为 0，结果退化为必然事件

典型应用

抽样检验区间估计、保险精算、A/B 测试样本量计算

按天计件打零工，每天独立对应 →独立随机变量求和

每天收入独立，n 天总收入均值 = n·日均，方差也按天数累加

E(X) = np,\quad D(X) = np(1-p),\quad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

7第 7 页 · 二项分布的均值与方差

超几何分布

二项分布建立在 n 重独立伯努利试验上——也就是「有放回」地抽。但现实质检里，我们往往一次性从一批产品中抽若干件，抽完不放回。这时各次试验不再独立，就要换工具：超几何分布。

模型设定

从 N 件产品中抽 n 件，不放回，X 为其中次品数

概率公式

C(K,k)·C(N-K,n-k) / C(N,n)，不放回导致不能直接乘概率

与二项的差异

不放回 → 抽样不独立；总体有限 → 每次概率都在变化

近似条件

当 n/N 很小（通常 < 5%）时，超几何 ≈ 二项

典型应用

批量质检、扑克摸牌、生态调查中的不放回抽样

玩扑克摸牌对应 →超几何分布

牌堆有限，摸出一张后剩下的牌变少，每张牌被摸到的概率都在动态变化

P(X=k)=\dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

8第 8 页 · 超几何分布

超几何分布的均值

上页我们建立了超几何分布：从 N 件产品里无放回抽 n 件，数其中红球数 X。这个 X 平均是多少？怎样推导出来的？

均值公式

E(X) = nK/N，N 总体、K 红球、n 抽样量

指示变量推导

X = ΣXi（Xi=1 表示第 i 件是红球），E(Xi)=K/N，故 E(X)=nK/N

比例守恒直觉

红球占总体 K/N，随机抽 n 个，期望抽到 n·(K/N) 个

二项均值的极限

n/N → 0 时不放回≈放回，E(X) → np，超几何趋近二项

典型应用

批量质检：从 N 件产品抽 n 件，估计次品数期望

袋里抓一把糖对应 →超几何均值 nK/N

10 颗红糖混在 30 颗里，抓 6 颗约 6×(10/30)=2 颗红糖

E(X) = n \cdot \frac{K}{N}

9第 9 页 · 超几何分布的均值

本节要点

✓有放回取样用二项，无放回归超几何
✓均值均与成功概率及试验次数成正比
✓总体N远大于n时，超几何逼近二项
✓超几何方差多修正因子(N-n)/(N-1)
✓判断流程：看抽样方式→选模型→套公式

延伸主题：泊松分布：二项分布的极限几何分布与负二项分布有限总体抽样的实际应用

10第 10 页 · 本节要点

课后思考

三个问题分别落在核心回顾、应用拓展、边界思考。建议先独立想，再对照参考答案。

1二项分布假设每次试验独立且成功概率恒定——'不放回抽样'破坏的究竟是哪一个？为什么？

参考答案破坏的是'概率恒定'。不放回时每次抽中指定类的概率是条件概率，依赖前几次抽取结果。

2若抽样规则是'抽到第 k 个不合格品就停止'——样本量不固定了，二项和超几何还适用吗？

参考答案不适用。这是负二项分布的领地：试验次数随机，关心第 k 次成功何时出现。

3总体 N 很大、样本 n 很小时，超几何趋近谁？这种近似的直觉和数学边界分别是什么？

参考答案趋近二项。直觉是总体太大，几乎抽不到同一个体；数学上 n/N→0 时严格成立。

11第 11 页 · 课后思考