二次函数的图象和性质

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抛物线顶点坐标对称性数形结合

二次函数的图象和性质

看懂系数如何决定抛物线的开口、顶点与对称性

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抛物线顶点坐标对称性数形结合

二次函数的图象和性质

看懂系数如何决定抛物线的开口、顶点与对称性

1第 1 页 · 二次函数的图象和性质

待定系数法求二次函数解析

已经能从图象读出开口方向、对称轴、顶点了。现在反过来：题目只给几个条件，怎么反推出 a、b、c？这就轮到待定系数法上场。

本质：方程思想
把 a、b、c 看作未知数，把题目每个条件列成方程
三种基本形式
一般式、顶点式、两根式，分别有 3、2、3 个待定系数
形式选择原则
已知什么条件，就选什么形式，列方程最省事
条件必须独立
n 个独立条件才能唯一确定 n 个系数；重复条件无效
侦探锁定嫌疑人对应 →待定系数法

未知数=嫌疑人；每条独立线索=一个方程；线索不够就锁不定

$$y=ax^2+bx+c,\quad y=a(x-h)^2+k,\quad y=a(x-x_1)(x-x_2)$$
2第 2 页 · 待定系数法求二次函数解析

配方法

待定系数法擅长由已知点求解析式，可要画图像、读顶点、求最值，它就只剩一堆代数。这时候需要换一种语言——配方法让函数式自己露出顶点。

定义
把一般式 ax²+bx+c 恒等变形为顶点式 a(x-h)²+k
关键技巧
一次项系数 b 除以 2a 后再平方，凑成完全平方式
标准步骤
①提 a ②配方括号 ③补常数项，保证等号两边相等
读出顶点
顶点式 y=a(x-h)²+k 中 (h,k) 即顶点，对称轴 x=h
典型应用
直接求最值、判定开口方向、研究图像平移变换
补图成方对应 →配方法

把不规则图形补成正方形——一般式补成完全平方式，结构由此凸显

ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24aax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}
3第 3 页 · 配方法

描点法画函数图象

前面用配方法把二次函数写成顶点式 y = a(x-h)² + k，形状已经心里有数。但考试时不能靠想象，必须把它画到坐标系上——这就是描点法要做的事。

三步法骨架
列表取 x 与对应 y、坐标系描点、按 x 顺序平滑连线
选点是灵魂
对二次函数必取顶点，再取对称轴两侧的点、与坐标轴的交点
描点要准
用表格列出 (x, y)，坐标平面按比例精确标出
连线要顺
按 x 增大方向用平滑曲线连，体现抛物线弯曲趋势，不是折线
不止于画图
也是读图反推性质、验证前面所学结论的重要工具
抽样调查推断总体对应 →描点法绘制函数图象

不能算遍曲线每个点，挑几个有代表性的关键样本（顶点、交点），连起来还原整体形状

4第 4 页 · 描点法画函数图象

二次函数

前面我们画过图象、研究过性质、求过解析式、练过配方法——这些都是二次函数的'操作工具'。这页回到起点：什么样的函数叫二次函数？三种等价写法各有什么用处？

一般式
y = ax² + bx + c，a ≠ 0 是前提；a 决定开口与宽窄
顶点式
y = a(x - h)² + k，(h, k) 直接给出顶点坐标
两根式
y = a(x - x₁)(x - x₂)，x₁, x₂ 即与 x 轴的交点
典型应用
抛体轨迹、利润最大化、桥拱设计——本质都用到极值或对称性
母版雕塑的复制对应 →二次函数的伸缩平移

y = x² 是母版；a 控制雕塑胖瘦，(h, k) 决定摆放位置

y=ax2+bx+c(a≠0)=a(x−h)2+k=a(x−x1)(x−x2)y = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)\\= a(x - h)^2 + k \\= a(x - x_1)(x - x_2)
5第 5 页 · 二次函数

二次函数 y = ax^2 的图象

描点法画图象时，最简单的二次函数当属 y = ax^2——没有常数项、没有一次项，只剩二次项。这页就来看它的图象长什么样。

抛物线
图象是一条抛物线，关于 y 轴左右对称
顶点在原点
图象的最低或最高点，坐标 (0, 0)
a 定开口方向
a > 0 开口向上；a < 0 开口向下
|a| 定宽窄
|a| 越大图象越窄；越小越宽
抛体运动轨迹对应 →抛物线 y = ax²

物理中抛出物体的轨迹就是抛物线，y = ax² 是最简形式

y=ax2(a≠0),顶点 (0,0),对称轴 x=0y = ax^2 \quad (a \neq 0), \quad \text{顶点 } (0,0), \quad \text{对称轴 } x = 0
6第 6 页 · 二次函数 y = ax^2 的图象

抛物线

上一页我们画出了 y = ax² 的 U 型曲线——这个形状在数学里有个正式名字：抛物线。它不仅是函数的图象，还藏着更深的几何秘密。

代数定义
二次函数 y = ax²+bx+c（a≠0）的图象就是抛物线
几何定义
到定点（焦点）距离 = 到定直线（准线）距离的所有点
三大要素
顶点、对称轴、开口方向共同决定形态
典型应用
篮球弧线、喷泉水柱、卫星天线、斜拉桥索
篮球投篮的飞行弧线对应 →抛物线

球在空中每刻，重力往下拉、初速度往前推，两种力拉锯的轨迹就是抛物线

x2+(y−p2)2=y+p2\sqrt{x^2 + \left(y - \frac{p}{2}\right)^2} = y + \frac{p}{2}
7第 7 页 · 抛物线

顶点

上一页我们画出了抛物线——开口向上像碗、开口向下像帽子。可你想过没，碗底在哪里、帽顶在哪里？这一个最特殊的点，就叫顶点。

顶点定义
抛物线的最高点或最低点，是图象唯一的极值点
顶点坐标公式
y=ax²+bx+c 中，横坐标 x=-b/2a
对称轴必经顶点
抛物线左右对称，对称轴这条竖直线穿过顶点
顶点即最值点
a>0 时顶点是 y 的最小值，a<0 时是 y 的最大值
抛球轨迹的最高点对应 →抛物线的顶点

球到顶点瞬间不再上升、转而下落——抛物线到顶点也是转向的拐点

y=a(x−h)2+k,(h,k) 即为顶点y = a(x-h)^2 + k,\quad (h,k)\ \text{即为顶点}
8第 8 页 · 顶点

二次函数 y = a(x - h)^2

你已经认识 y = ax² 这条以原点为顶点的抛物线。现实中很多抛物线的顶点并不在原点——比如喷泉最高点、篮球的运动轨迹。怎么只动一笔就让顶点搬到任意位置？

顶点式结构
a(x−h)² + k 是顶点的直接表达，三参数各管一摊
h：横向平移
x 减 h，整体向右移 h 个单位；h 为负则左移
k：纵向平移
末项加 k，整体向上移 k 个单位；k 为负则下移
a 角色不变
仍控制开口方向（正上负下）与张口宽窄（|a| 越大越窄）
顶点与对称轴
顶点 (h, k)，对称轴 x = h，公式里直接读出
搬动一幅画对应 →平移抛物线

y=ax² 是固定画框，h、k 是「右搬 h、上搬 k」的指令；顶点即画的新位置 (h,k)

y=a(x−h)2+k,顶点  (h,k),对称轴  x=hy = a(x - h)^2 + k,\quad \text{顶点}\;(h,k),\quad \text{对称轴}\;x = h
9第 9 页 · 二次函数 y = a(x - h)^2

二次函数图象平移

上页 y = a(x-h)² 的顶点是 (h, 0)。实际常写成 y = a(x-h)² + k，顶点跑到 (h, k)——多出的 k 怎么把整条抛物线「抬」上去？这就是图象的平移。

左右平移
h 控制水平位移：h>0 右移 h，h<0 左移 |h|（注意「减」对应右移）
上下平移
末尾 +k 控制垂直位移：k>0 上移 k，k<0 下移 |k|
顶点即位移
顶点 (h, k) 就是从原点出发的位移向量
形状不变
a 不变则开口大小与方向不变；平移只改位置，不改「长相」
墙上挪动相框对应 →二次函数图象平移

相框形状不变，只换位置；a 是形状参数，h、k 是位置坐标

y=ax2→右移 h, 上移 ky=a(x−h)2+ky = ax^2 \xrightarrow{\text{右移 }h,\ \text{上移 }k} y = a(x-h)^2 + k
10第 10 页 · 二次函数图象平移

二次函数顶点式

上页我们看到，把 y = a(x-h)² 上下平移就得到 y = a(x-h)² + k。这不只是平移的副产品——它本身有独立的结构优势。

顶点式定义
y = a(x-h)² + k，其中 a≠0
顶点坐标
(h, k) 直接读出，无需配方推导
k 的几何意义
在 y = a(x-h)² 基础上向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k| 单位
典型应用
求最值：x=h 时 y 取最大 k（a<0）或最小 k（a>0）
GPS 坐标对应 →(h, k) 顶点

GPS 一报经纬度就定位；顶点式 (h, k) 直接告诉你顶点，比一般式靠公式推导省事得多

y=a(x−h)2+k(a≠0)y = a(x-h)^2 + k \quad (a \neq 0)
11第 11 页 · 二次函数顶点式

二次函数一般式

你已经会用顶点式 y=a(x-h)²+k 描述抛物线，知道 h、k 的几何意义。但题目里出现最多的，往往是展开后的三项式——这就是二次函数的一般式。

一般式定义
y=ax²+bx+c，a≠0；三个系数a、b、c共同确定一条抛物线
三系数分工
a定开口方向与宽窄；b与对称轴位置有关；c是y轴交点纵坐标
与顶点式互化
顶点式展开即一般式；一般式配方即顶点式，两者描述同一条抛物线
系数符号判定
对称轴 x=-b/2a 的位置决定a、b同号或异号；c决定图象与y轴交点的上下
身份证三要素对应 →一般式三系数

姓名/出生/编号三者联合才能锁定一个人；a、b、c三者联合才能锁定一条抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
12第 12 页 · 二次函数一般式

二次函数的顶点坐标公式

上一页我们用配方法把一般式化成顶点式，再读出 h 和 k。但每题都走一遍配方太慢——顶点坐标其实可以由 a、b、c 一步算出来。

顶点横坐标
x = -b/(2a)，与顶点式 h 完全等价
纵坐标两种求法
代入横坐标回原式求 y，或直接用 (4ac-b²)/4a
典型适用场景
求最值、对称轴、单调区间时不用配方，直接套用
用经纬度定位城市对应 →用 a、b、c 定位顶点

经纬度直接对应地理位置；公式让 a、b、c 直接对应顶点坐标，省去配方法的中间步骤

xv=−b2a,yv=4ac−b24ax_v = -\frac{b}{2a},\quad y_v = \frac{4ac-b^2}{4a}
13第 13 页 · 二次函数的顶点坐标公式

对称轴

上一节顶点坐标公式告诉我们，抛物线顶点的横坐标是 -b/(2a)。这个值本身就暗示了一条特殊竖线——沿它对折，左右完全重合。今天我们正式认识这条线。

定义
过顶点且垂直于 x 轴的直线，抛物线关于它左右对称
顶点式表达
y = a(x-h)²+k 中，对称轴就是 x = h
一般式表达
y = ax²+bx+c 中，对称轴为 x = -b/(2a)
对称性质
到对称轴等距的两点，纵坐标必然相等
典型应用
已知一根求另一根、画图象、判单调区间
把纸上画的抛物线对折对应 →对称轴

左右两半完美重合的那条折痕，就是对称轴

x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}
14第 14 页 · 对称轴

本节要点

  • ✓a 决定开口方向与胖瘦，顶点 (h, k) 决定位置
  • ✓顶点是对称轴与抛物线的唯一交点，是所有性质的枢纽
  • ✓平移规律：括号内左加右减，常数项上加下减
  • ✓配方法是连接一般式与顶点式的标准桥梁
  • ✓求最值回到顶点式，求交点回到一般式，按需切换
延伸主题：二次函数与一元二次方程的关系二次函数的最值与实际应用抛物线与几何综合问题
15第 15 页 · 本节要点

课后思考

先凭理解写下来，再对照参考答案看思路对不对。

1a 如何决定抛物线的形状？a 能决定对称轴的位置吗？

参考答案a 决定开口方向（正上负下）和宽窄（|a|越大越窄），但对称轴位置由 h 或 -b/2a 决定，与 a 无关。

2把 y = 2(x-3)² + 1 向左平移 2 个单位，新的解析式和顶点坐标怎么变？

参考答案平移只改 h：向左 2 个单位即 h 由 3 变 1。顶点由 (3,1) 移到 (1,1)，新式为 y = 2(x-1)² + 1。

3顶点横坐标公式 x = -b/2a 在 a=0 时还成立吗？为什么？

参考答案不成立。a=0 时二次项消失，函数退化为一次函数，根本不存在顶点；公式分母为零，数学上无意义。

16第 16 页 · 课后思考