数学大学
线性常系数齐次递推关系
组合数学 · 线性常系数递推关系
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线性常系数齐次递推关系
组合数学 · 线性常系数递推关系
定义
线性常系数齐次递推：每一项都是前面若干项的固定系数加权和。
三要素
线性、系数常数、无右端常数项
阶数
由回看的项数决定，k 阶需要 k 个初值
特征多项式
把递推翻译成特征多项式：aₙ 换成 rᵏ，逐项降幂。
翻译规则
aₙ=c₁aₙ₋₁+…+cₖaₙ₋ₖ ⇒ rᵏ=c₁rᵏ⁻¹+…+cₖ
根定解形
特征根的性质决定通解的结构
母函数与特征多项式
母函数与特征方程殊途同归：分母多项式正是特征多项式。
分母即特征
母函数分母 1−c₁x−…−cₖxᵏ 与特征式互映
两法等价
同一递推的两套代数外衣
根据特征多项式求解递推关
互异单根情形：每个根贡献一项 c·rⁿ，通解线性组合。
通解形式
k 个互异根 ⇒ aₙ=Σcᵢrᵢⁿ
定常数
代入初值解线性方程组
根据特征多项式求解递推关
重根情形：每个 m 重根贡献 rⁿ、nrⁿ、…、n^{m−1}rⁿ 共 m 项。
重根升级
重数 m 补足 m 个独立解
与微分方程平行
结构同特征方程法解常微分方程
本节要点
- ✓递推翻译成特征多项式
- ✓单根给 c·rⁿ，重根补 n 幂次
- ✓母函数分母即特征多项式
延伸主题：解一个三阶递推对比母函数法与特征方程法
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么试解 aₙ=rⁿ 就能找到递推的解？
参考答案递推是线性的、系数固定的，指数函数 rⁿ 代入后公因子 r^{n−k} 可以约去，恰好化成 r 的代数方程。指数函数是这类「比例复制」结构的本征形态。
2重根补幂次 n·rⁿ 的道理与微分方程重根乘 x 有何相似？
参考答案完全同构：代数重根破坏解的独立性时，用 n 乘以原解补足第二解；微分方程重根用 x 乘解补足。线性齐次结构的重根处理在两个世界里是同一条定理。
3初值个数为什么恰好等于递推的阶数？
参考答案k 阶递推需要 k 个连续初值才能唯一展开整个数列：少一个则数列不唯一，多一个则相互矛盾或冗余。这也对应特征方程恰为 k 次、恰有 k 个解分量（计重数）。