数学大学
Gauss公式与Stokes公式
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
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Gauss公式与Stokes公式
微积分——多元函数与重积分 · 第四章 向量分析
Gauss公式
高斯公式：闭曲面上的通量积分等于散度在内部区域上的三重积分。
公式
∬∂Ω F·n dS = ∭div F dV
条件
闭曲面取外侧，场在区域内连续可微
第二类曲面积分的计算：Ga
用 Gauss 公式改造曲面积分：复杂曲面换成简单闭曲面或补面。
补面技巧
非闭曲面补一块简单面封口再用公式
散度简单时
散度为零则通量只由补面决定
Stokes公式及其应用
Stokes 公式：空间闭曲线的环流量等于旋度穿过张出曲面的通量。
公式
∮F·dr = ∬(curl F)·n dS
方向约定
曲线方向与曲面法向遵守右手规则
本节要点
- ✓Gauss：通量 = 散度的体积分
- ✓非闭曲面补面后套公式
- ✓Stokes：环流量 = 旋度的通量
延伸主题：用 Gauss 算一次闭面通量用 Stokes 算一次环路积分
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1Gauss 公式的物理含义是什么？
参考答案散度是单位体积内「源的强度」：从闭曲面流出的总通量等于内部所有源的产生量之和。正散度处是源、负散度处是汇，通量守恒由此定量表达。
2补面法使用 Gauss 公式时要注意什么？
参考答案补上的面与原曲面必须合成取外侧的闭曲面，且场在补出的内部区域处处可微。最后用「所求 = 闭面通量 − 补面通量」还原答案，补面的方向要与其外侧一致。
3Stokes 公式与 Green 公式是什么关系？
参考答案Green 公式是 Stokes 公式在平面上的特例：把平面区域当曲面、法向取 z 轴正向，环流量与旋度通量的等式就退化成 Green 公式。空间与平面同源。