金融工程概述

官官方经济学老师·11 页·深入（追求细节与边界）·0 次浏览·3 天前
✦ 金融工程概述经济学金融工程概述MM理论（1）
金融工程衍生品定价风险管理模型边界

金融工程概述

厘清定价、对冲与风险管理的核心逻辑，辨明模型假设的适用边界

按 空格/→ 演示下一步

1 / 11 页

全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放

金融工程衍生品定价风险管理模型边界

金融工程概述

厘清定价、对冲与风险管理的核心逻辑，辨明模型假设的适用边界

1第 1 页 · 金融工程概述

金融工程简介

上页给了全景，这页我们往里走一步。金融工程的内核不是某类工具，而是一种思维：把金融问题工程化。那么，什么叫'工程化'？

交叉学科定义
融合数学、计算机与金融，用工程方法解决金融问题
三大支柱
定价理论、风险管理、产品与策略创新缺一不可
典型应用
期权定价、资产证券化、结构性产品、量化对冲
核心思维
将金融问题抽象为数学模型，再用工程方法求解
造火箭对应 →金融工程

都靠拆解→建模→试验→迭代，把不确定性逐项控制

P=E[e−rT⋅payoff]P = \mathbb{E}\left[e^{-rT} \cdot \text{payoff}\right]
2第 2 页 · 金融工程简介

无套利均衡分析

上页我们搭起了金融工程的整体框架。本页进入最核心的定价方法论——'无套利均衡分析'，它回答衍生品'该值多少钱'这一根本问题。

无套利原理
同现金流资产必同价；一旦出现价差，套利者瞬间将其抹平，价格回归均衡
复制定价法
若组合可复制目标资产现金流，其价格等于复制组合成本，无需任何风险偏好假设
风险中性定价
无套利蕴含存在风险中性测度Q，价格等于在该测度下未来现金流的贴现期望
应用边界
依赖完全市场、连续交易、零摩擦；现实中税收、流动性、跳跃风险会侵蚀均衡
超市同款可乐不同货架差价对应 →无套利均衡

顾客搬货套利抹平价差=交易者复制抹平错价；价差消失即均衡

P=EQ ⁣[ST(1+r)T]P = E^Q\!\left[\dfrac{S_T}{(1+r)^T}\right]
3第 3 页 · 无套利均衡分析

MM理论（1）

无套利均衡告诉我们，现金流相同的资产组合今天的价格必须相等。Modigliani和Miller把这条思路用到极致，论证了公司价值与融资方式无关——这就是MM定理。

提出者与背景
Modigliani与Miller于1958年提出，奠基现代资本结构理论
MM命题I
完美市场中，有债与无债公司总价值相等：V_L = V_U
MM命题II
负债推高权益成本，且上升幅度与负债率线性相关
关键假设
无税、无破产成本、无信息不对称、市场完全
典型应用
资本结构选择、企业估值、股利政策与无套利对冲
把一整块披萨切成几份对应 →MM定理中的公司价值

披萨总量不变；切几块、怎么切（融资方式）都不改变总大小

VL=VU,rE=rA+(rA−rD)⋅DEV_L = V_U,\quad r_E = r_A + (r_A - r_D)\cdot \frac{D}{E}
4第 4 页 · MM理论（1）

MM理论（2）

MM理论（2）：定义、要点与典型应用

MM理论（2）
MM理论（2）：定义、要点与典型应用
5第 5 页 · MM理论（2）

MM理论（3）

MM（1）和（2）都建立在「没有所得税」的理想世界里。现实中企业所得税是存在的，而它的出现把整个故事改写——债务突然有了独特的优势。

现实前提：所得税
放弃无税假设，回到真实企业环境，债务利息可在税前扣除
债务税盾效应
每借1元债务，利息抵税后实际成本下降，公司净价值上升
MM命题I（有税）
VL = VU + TC × D，企业价值等于无杠杆价值加上税盾
MM命题II（有税）
负债越多，权益成本上升幅度变小，整体加权资本成本下降
典型应用
为资本结构决策提供基准：存在税盾时适度举债可提升企业价值
房贷利息抵个税对应 →企业债务税盾

个人还房贷利息能少交个税；企业付债务利息也能少交企业所得税，借得越多抵税越多

VL=VU+TC×DV_L = V_U + T_C \times D
6第 6 页 · MM理论（3）

考虑税收的MM理论

上一页 MM 定理说，没有税、没有破产成本时，资本结构不影响企业价值。但现实里企业要交所得税，利息支出可以抵税——一旦把税拉进来，结论就被改写了。

税盾效应
利息在税前扣除，降低应纳税所得额；相当于政府替企业补贴了 T_C 比例的利息支出
修正公式
V_L = V_U + T_C·D：负债企业价值等于无负债价值，加上永续债务税盾的现值
推论
在只引入税、不考虑破产成本的简化模型里，债务越多企业价值越大，极端情况 100% 负债最优
房贷利息抵扣个税对应 →企业利息抵企所税

个人还房贷能少缴个税、企业付利息能少缴企所税，机制相同——都是让政府承担一部分成本

VL=VU+TC⋅DV_L = V_U + T_C \cdot D
7第 7 页 · 考虑税收的MM理论

状态价格与完全市场（1）

无套利只说"没有免费的午餐"，却没回答：今天的一个价格，到底由未来多少种"如果……"拼成？状态价格就是把这盘账拆到每一个未来状态下。

状态价格定义
只在某一特定状态s实现时支付1元、其他状态为0的合约，今日市场价格，记作π(s)
线性定价
任何资产今日价格=各状态下支付额按对应状态价格加权求和
正性⇔无套利
市场上存在严格为正的状态价格向量，等价于不存在套利机会
完全市场
状态数恰好等于独立可交易证券数，从而任何或有权益都可被复制
火灾保险的精算报价对应 →状态价格

"房子烧了赔1元"和"房子没烧赔1元"是两种不同未来；它们今天的不同标价，就是两种状态的价格

V0=∑s∈Sπ(s) X(s),π(s)>0 ∀sV_0=\sum_{s\in S}\pi(s)\,X(s),\quad \pi(s)>0\ \forall s
8第 8 页 · 状态价格与完全市场（1）

状态价格与完全市场（2）

上一页用状态树展示了未来有哪些结果；现在追问：这些结果能否都被现有资产复制，并只得到一套彼此相容的价格？

完全市场
有限状态、无套利时，现有证券的报酬张成全部未来状态，即每个或有债权都可被复制。
状态价格
q_i 是“状态 i 发生即支付 1”的证券现价；组合现价等于各状态报酬的加权和。
唯一性
无套利时，完全市场等价于状态价格 q 唯一；若以 p_i 为基准，q_i=p_i m_i。
典型应用
用复制组合或唯一风险中性测度给衍生品定价；得到相容价格，不等于实际状态概率。
给每种天气单独下注对应 →状态价格与完全市场

每种天气一张彩票，对应一个状态价格；若所有彩票都能由现有资产复制，定价就唯一。

X∈Rm×N, m≥N, 满列秩⟺无套利时，唯一的 q∈R+N 满足 P0=XqX\in\mathbb R^{m\times N},\ m\ge N,\ \text{满列秩}\Longleftrightarrow\text{无套利时，唯一的 }q\in\mathbb R_+^N\text{ 满足 }P_0=Xq
9第 9 页 · 状态价格与完全市场（2）

本节要点

  • ✓无套利是金融工程的定价基石，套利机会出现即被市场抹平
  • ✓MM的价值无关性只在完美市场成立，引入税收和破产成本后会偏离
  • ✓状态价格把未来的不确定性折算成当下可定价的数值
  • ✓完全市场才能对每份风险唯一定价，不完全市场只剩价格区间
  • ✓金融工程的结论都绑死在前提假设上，脱开假设谈结论是常见误区
延伸主题：Black-Scholes期权定价模型资本资产定价模型CAPM不完备市场的定价方法
10第 10 页 · 本节要点

课后思考

三个开放性问题，先独立思考再看参考答案。答案点到为止，留给你更多琢磨空间。

1MM理论为什么能得出'资本结构与企业价值无关'的结论？这一结论依赖哪些核心前提？

参考答案核心是无套利论证：负债只是把同一现金流在股东与债权人之间重新切分，两种融资方式的总价值应相等。前提包括：无税收、无交易成本、无破产成本、资本市场完全。

2考虑所得税后，公司增加负债会如何影响企业价值？债权人要求的回报率会因此上升吗？

参考答案利息支出可税前抵扣，产生税盾价值：VL = VU + tD。但杠杆提高会增加财务风险，债权人要求的回报率随之上升，部分抵销税盾收益，因此存在最优资本结构。

3如果市场不完全（某些未来状态缺少可交易证券），状态价格还存在吗？金融工程还能定价吗？

参考答案不完全市场中，并非每个状态都有交易证券，严格意义的状态价格不一定存在。实际做法：用风险中性概率近似定价，或用动态复制在可达范围内构造对冲；无法复制时需引入效用最大化等扩展方法。

11第 11 页 · 课后思考