简谐运动的描述

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✦ 简谐运动的描述物理简谐运动的描述周期

简谐运动相位分析振幅周期几何描述

简谐运动的描述

看清位移-速度-加速度的相位关系，掌握振幅、周期、相位的几何意义与边界条件

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简谐运动相位分析振幅周期几何描述

简谐运动的描述

看清位移-速度-加速度的相位关系，掌握振幅、周期、相位的几何意义与边界条件

1第 1 页 · 简谐运动的描述

周期

上一页的振动图像让简谐运动「周而复始」的直觉清晰起来，但「重复一次到底要多长」还没量化。这个时间就叫周期 T——它是把振动图像翻译成数学语言的第一把尺子。

周期 T 的定义

振子完成一次完整振动（位置、速度均复原）所需的时间

与角频率的关系

T = 2π/ω；与频率 f 互为倒数（f = 1/T）

系统固有属性

由 m、k（弹簧振子）或 l、g（单摆）决定，与初始振幅无关（等时性）

边界与适用条件

等时性仅在线性回复力 F = −kx 下严格成立；大角度单摆等非线性系统周期随振幅增大而变长

荡秋千对应 →周期

从一侧最高点 → 经最低点 → 到另一侧最高点 → 回到原位,一次来回就是一次完整周期

T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

2第 2 页 · 周期

简谐运动

上一页我们看到位置按正弦规律变化，周期由系统决定。但为什么偏偏是这种形式？要回答这个问题，得回到「回复力」——正是它赋予简谐运动独特的形状。

回复力条件

回复力与位移成正比、方向相反（F=-kx），这是产生简谐运动的核心条件

加速度特征

由牛顿第二定律推出 a=-ω²x，加速度始终指向平衡位置，大小与位移成正比

理想化前提

忽略一切阻尼；若存在摩擦，能量逐渐耗散，振幅衰减，就不再是严格简谐

三个典型实例

水平弹簧振子（严格成立）、单摆（需小角度近似）、LC 振荡电路（电磁版本）

边界与近似

单摆只在 θ<15° 时近似成立；弹簧本身有质量、空气阻力都会让它偏离理想模型

匀速圆周的投影对应 →简谐运动的本质

任意简谐运动都可看作一个匀速圆周运动沿某条直径的影子，正弦曲线由此而来

F = -kx, \quad a = -\omega^2 x, \quad \omega = \sqrt{k/m}

3第 3 页 · 简谐运动

频率

周期 T 讲的是'振一次要多长时间'。但更多场合我们关心的角度相反——'一秒钟振了多少次'——这就是频率。两者数学上互为倒数，是同一物理过程的两种表达方式。

频率的定义

单位时间内完成完整振动的次数

与周期互为倒数

f = 1/T，周期越长频率越低

与角频率的关系

ω = 2πf，描述相位变化的快慢

国际单位赫兹

符号 Hz，1 Hz 等于每秒振动一次

弹簧振子的固有频率

f = (1/2π)√(k/m)，仅由 k 与 m 决定

心率（每分钟心跳次数）对应 →频率

心率问一分钟跳几下，频率问一秒钟振几次，都是统计单位时间内的重复次数

f = \frac{1}{T}, \quad \omega = 2\pi f, \quad f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}

4第 4 页 · 频率

圆频率

上页说过频率 f 描述「一秒振动多少次」。但当我们把位移写成 x = A cos(ωt + φ) 时，t 旁边的系数不是 f，而是 ω——这就是圆频率。为什么要平白无故多一个 2π？这一页我们把它拆开讲。

定义

ω = 2π/T = 2πf，描述相位随时间变化的快慢，单位 rad/s（弧度每秒）

与频率的关系

一次完整振动对应相位走过 2π 弧度，所以 ω 总是 f 的 2π 倍

在位移公式中

x = A cos(ωt + φ) 里 ω 是 t 的系数，与振幅 A、初相 φ 一起确定完整表达式

常见误解

SHM 本身不做圆周运动，投影只是推导数学手段，ω 不代表任何真实角速度

转速 vs 角速度对应 →频率 vs 圆频率

频率是每秒几圈，圆频率是每秒几弧度；1 圈 = 2π 弧度，所以差 2π 倍

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

5第 5 页 · 圆频率

振幅

接上页我们谈了圆频率——它回答「简谐运动有多快」。但光知道速度还不够：弹簧拉到 1 cm 和 10 cm，恢复过程频率一样，动静却天差地别。这就需要另一个物理量——振幅。

定义

偏离平衡位置的最大位移量

符号与性质

用 A 表示，恒为非负（标量）

决定运动范围

瞬时位移 x 在 [-A, +A] 之间变化

与能量挂钩

振幅越大能量越大，且与 A² 成正比

典型应用

声波响度、地震强度、交流电压峰值都由 A 决定

秋千摆到最高点的相对高度对应 →振幅

秋千摆得越高（振幅越大），落回时动静也越大

E = \tfrac{1}{2}kA^2

6第 6 页 · 振幅

相位

周期告诉你多久、频率告诉你多快、振幅告诉你多大——但'现在振子走到了循环里的哪一步'，只能由相位回答。

相位的定义

φ(t) = ωt + φ₀，是余弦函数的自变量，本质是随时间线性增长的角度量

初相位 φ₀

t=0 时的相位，由初始位置 x₀ 与初速度 v₀ 共同决定

相位差 Δφ

两个同频 SHM 的相位之差，决定同相 / 反相 / 超前 / 滞后

状态唯一性

给定 φ，振子的位移 x 与速度方向 v 同时被唯一锁定

钟表指针的角度对应 →相位

指针角度对应钟点，相位对应振子在循环中的位置

\varphi(t)=\omega t+\varphi_0,\quad \tan\varphi_0=-\dfrac{v_0}{\omega x_0}

7第 7 页 · 相位

初相

相位告诉你「任意时刻振子位于循环的哪一段」。但循环本身有起点——t=0那一刻，相位计从哪个角度开转？描述这个起步角度的，就是初相。

必要补充

频率、振幅相同的两个振动，仅凭T/f/ω/A无法区分——初相是最后一个判别量

定义

t=0时刻的相位φ₀；一般取值范围(-π, π]

物理意义

唯一决定t=0时的位移x₀=A·cosφ₀与初速度v₀=-Aω·sinφ₀

参考圆

对应t=0时刻旋转矢量与x轴正方向的夹角，沿逆时针方向转

赛跑发令瞬间的起步姿态对应 →初相

配速与步频相同，唯一差别在起步那一刻的身体姿势

\varphi_0 = \arctan\!\left(-\frac{v_0}{\omega\, x_0}\right) \quad \left(\text{象限由 }x_0\text{、}v_0\text{ 共同定}\right)

8第 8 页 · 初相

相位差

两只摆长相等的单摆同时启动，节奏一样，但一只先开始半拍——它们从此永远错开这个'距离'。错开多少、错开意味着什么，就是这一页要展开的。

相位差的定义

同频率两简谐运动的相位之差：Δφ=φ₁-φ₂

同频前提

频率不同则 Δφ 随时间变化，相位差不再是确定常数

三种典型相位差

0 或 2kπ 同相；π 或 (2k+1)π 反相；±π/2 正交

超前、滞后与叠加

Δφ>0 称 φ₁ 超前；时间差 Δt=Δφ/ω；决定同频叠加能否抵消

齐步走的两人对应 →相位差

节奏相同但起步有先后，'差几步'即相位差，时间上对应'差几拍'

\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2=(\omega t+\varphi_{10})-(\omega t+\varphi_{20})=\varphi_{10}-\varphi_{20}

9第 9 页 · 相位差

本节要点

✓三要素(ω、A、φ)一旦确定,SHM 全部信息随之确定
✓相位就是转动角度,把'在哪'与'往哪走'压成同一变量
✓振幅对应总能量(E∝A²),并非某一刻的位移
✓比较两SHM 须先同频;频率不同,相位差随时间一直变化

延伸主题：简谐运动的合成阻尼与受迫振动单摆与弹簧振子的近似边界

10第 10 页 · 本节要点

课后思考

先合上书自己琢磨，再看参考答案——三道题分别考你回顾、应用、辨析三种能力。

1为什么用余弦函数描述简谐运动比正弦函数更"自然"？

参考答案没有绝对的"自然"。余弦在 t=0 时取最大值 1，恰好对应"起点取最大位移"这一最简初始条件；正弦则对应"起点过平衡位置且向正方向运动"。选谁取决于你把 t=0 定在哪一瞬。

2弹簧振子从最大位移处由静止释放，方程中振幅 A 和初相 φ 各是多少？怎么推？

参考答案A 就是初始位移的大小；φ=0，因为 cos(ω·0)=1 恰好对应"t=0 时位移取最大"。代入初始条件 x(0)=A、v(0)=0 到通解即可验证，是最干净的一组参数。

3任何周期性运动都能写成 x=A cos(ωt+φ) 吗？这和"简谐"二字矛盾吗？

参考答案形式上不一定——方波、三角波等周期信号必须展开为多个简谐运动的叠加（傅里叶级数）。周期≠简谐：单一项余弦只能描述严格简谐运动，多项叠加才是更一般的周期运动。

11第 11 页 · 课后思考