数学大学
时变分析原理
动态测试与分析（下） · 第6章 时变分析原理
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时变分析原理
动态测试与分析（下） · 第6章 时变分析原理
时变分析
时变信号的频率随时间流动：时频分析把时间与频率放在同一张图上。
动机
固定频谱丢失「何时出现什么频率」
时频图
横轴时间、纵轴频率、亮度表强度
莫莱特小波变换（1）
莫莱特小波是「裁剪的波包」：母小波伸缩平移去匹配信号局部。
母小波
余弦调制的高斯波包，均值为零
伸缩平移
尺度定频率分辨率，位置定时间点
莫莱特小波变换（2）
小波系数的含义：与当前尺度波包越像，系数越大。
系数计算
信号与小波做内积得系数
读图
大系数位置即该时刻含有该尺度频率
一般小波变换（1）
小波族的核心性质：多分辨——低频看得细，高频看得快。
多分辨率
尺度自动调节时间与频率分辨率
与 STFT 之别
短时傅里叶窗宽固定，小波自适应
一般小波变换（2）
容许条件是小波的门槛：均值零保证变换可逆。
容许条件
母小波积分为零，变换才可逆
常见小波
Haar、Daubechies、Morlet 各有所长
小波变换的快速算法
Mallat 算法用滤波器组实现小波变换：逐级分解，计算量线性。
滤波器组
低通与高通滤波加抽取逐级分解
复杂度
线性 O(N)，可实时运行
小波变换的计算结果
小波变换的输出是「尺度-时间」平面上的系数图：读图即读信号演化。
系数矩阵
每行一个尺度，每列一个时刻
读图要点
亮纹位置与走向对应频率随时间的变化
小波自测
点击作答
与短时傅里叶变换相比，小波变换的核心优势是什么？
本节要点
- ✓时变信号要靠时频分析
- ✓莫莱特小波：高斯包络的裁剪波包
- ✓多分辨率：低频细、高频快
- ✓Mallat 滤波器组线性提速
延伸主题：画一次小波时频图对比 STFT 与小波的结果
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么分析时变信号需要小波或时频分析？
参考答案傅里叶谱把整段时间一锅端，只能回答「有哪些频率」，回答不了「何时出现」。小波变换逐时刻逐尺度匹配，能同时给出时间与频率两个维度的演化图景。
2小波的「多分辨率」是如何实现的？
参考答案小波在低尺度时波形窄、时间定位准；高尺度时波形宽、频率定位准。同一族小波按尺度伸缩，天然在时间分辨率与频率分辨率之间自动分配。
3Mallat 快速算法为什么能把小波变换做进实时系统？
参考答案它把连续的小波积分改写为低通、高通滤波加二抽取的级联，每级只做一遍滤波，总计算量与样本数成线性关系，普通处理器即可实时运行。