数学大学
映射及其微分
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
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数学大学
映射及其微分
微积分——多元函数与重积分 · 第一章 多元函数微分学
映射与连续映射的概念
多元到多元的映射 f: Rⁿ→Rᵐ，由 m 个分量函数组成。
分量
f = (f₁,…,fₘ)，每个分量是多元函数
连续
各分量连续 ⇔ 映射连续
映射的导数、微分、雅克比
映射的导数是雅可比矩阵：线性近似把曲面的映射局部拉直。
雅可比矩阵
J_ij = ∂fᵢ/∂xⱼ 的 m×n 矩阵
微分
df = J·dx，映射的线性主部
复合映射的微分法
复合映射微分 = 雅可比矩阵相乘：链式法则的矩阵形式。
矩阵乘法
D(f∘g) = (Df∘g)·Dg
意义
把一元链式法则推广到任意维数
本节要点
- ✓映射 = 向量值函数，分量为多元函数
- ✓导数 = 雅可比矩阵 = 线性主部
- ✓复合微分 = 雅可比矩阵相乘
延伸主题：写一个映射的雅可比矩阵验证复合映射的微分乘法
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么映射的「导数」是矩阵而不是数？
参考答案映射的输入输出都是向量，线性近似必须是矩阵：它把输入的小位移按方向分别缩放旋转成输出位移。一元导数是 1×1 的退化特例，多元导数自然升级为雅可比矩阵。
2雅可比矩阵与「可逆」有什么关系？
参考答案方型雅可比行列式非零时，映射在该点局部可逆（反函数定理），一一对应的坐标变换由此保证。行列式为零则映射在该处退化压缩，局部可逆性丧失。
3复合映射的微分乘法与「路径图」链式法则是一回事吗？
参考答案是。矩阵乘法的每个元素正是「沿所有中间路径偏导相乘再相加」的结果；雅可比矩阵把多元链式法则压缩成一次矩阵乘法，维度越高越显出记号的威力。