复合函数的极限 Cauchy收敛准则 无穷小量与无穷大量
数学大学
复合函数的极限 Cauchy收
高等数学习题课 · 第三章 函数极限
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复合函数的极限 Cauchy收
高等数学习题课 · 第三章 函数极限
复合函数的极限
复合函数极限的换元条件：内函数趋近且不触点，外函数极限即可代入。
条件
g(x)→u₀ 且在邻域内 g(x)≠u₀
结论
lim f(g(x)) = lim_{u→u₀} f(u)
Cauchy收敛准则
函数版柯西准则：自变量趋于定点时，柯西条件等价于极限存在。
条件
两点充分靠近时函数值充分接近
用途
判别反常积分与级数收敛的模板
无穷小量与等价无穷小替换
等价无穷小替换：乘除因子可换成等价无穷小，加减要谨慎。
常用对
sin x ~ x，ln(1+x) ~ x，e^x−1 ~ x
红线
加减中替换可能丢掉主部，须展到同阶
无穷大量
无穷大量：绝对值无限增大，与无界（子列才无穷）不同。
定义
任意大 M，尾部 |f(x)|>M 恒成立
与无界之别
无界只需子列无穷，条件更弱
本节要点
- ✓复合极限需内函数不触点
- ✓等价替换：乘除可以、加减谨慎
- ✓无穷大量强于无界
延伸主题：用等价替换求三个极限构造无界但非无穷大的例子
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1等价无穷小替换在加减法中为什么可能出错？
参考答案加减时两个无穷小的主部可能相互抵消，被替换掉的高阶细节反而成为主导项。安全做法：加减前用泰勒展开到足够阶，确认剩余项阶数高于保留项。
2无界与无穷大量的区别是什么？
参考答案无穷大量要求「充分远处全部超界」，是整体行为；无界只要求「存在子列超界」，个别尖峰即可。例如 x·sin x 在无穷远无界但不是无穷大量。
3无穷小量的阶是怎样比较的？
参考答案用比值极限比较：比值趋于零称高阶、趋于非零常数称同阶、恒等于一称等价。阶的排序决定了泰勒展开保留到哪一项、以及相加时谁能主导。