力学单位制

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✦ 力学单位制物理力学单位制基本量
单位制SI基本量量纲分析力学推导

力学单位制

一张图看清牛顿、焦耳、瓦特怎么从米、千克、秒推出来

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单位制SI基本量量纲分析力学推导

力学单位制

一张图看清牛顿、焦耳、瓦特怎么从米、千克、秒推出来

1第 1 页 · 力学单位制

基本量

上页我们看到力学单位制就像一套规则系统，但要搭起这套系统，得先选定三个最基础、彼此独立的物理量作为'基石'。这页我们就来看力学中最底层的这三个量。

基本量的定义
在单位制中作为基础、彼此独立的物理量，其他量都从它们导出
力学三要素
长度(L)、质量(M)、时间(T)，是国际公认的三个力学基本量
独立性原则
三者之间没有任何物理公式可以相互推导，谁也替代不了谁
导出量的基石
速度=L/T、力=M·L/T²……所有力学量都由这三者乘除幂组合而成
选择是约定
这套选择来自国际约定；历史上工程制曾用力、长度、时间做基本量
26个英文字母对应 →力学中的基本量

字母按规则组合成所有英文单词；3个基本量按物理公式组合出所有力学量

2第 2 页 · 基本量

基本单位

上页我们确定了力学的三个基本量：长度、质量、时间。这回答了"测什么"，但要真正做实验，还得回答"用什么测"——这正是本页要解决的：基本单位。

独立约定
人为选定的单位制基石，无法从其他单位推导
力学三件套
米(m)长度、千克(kg)质量、秒(s)时间，三者相互独立
定义精确化
米从子午线到光速、千克从原器到普朗克常数、秒从天文学到原子钟
三个就够
力学规律只需三个独立量纲，多了冗余、少了不够
语言字母表对应 →基本单位

字母本身任意约定、无法由其他字母推出；所有词由字母拼成，正如导出单位由基本单位组合

$$[v]=\text{m/s},\quad [F]=\text{kg·m/s}^2$$
3第 3 页 · 基本单位

导出量

基本量配上基本单位还不够——速度、力、能量这些量怎么办？不可能每个都单独定单位。它们得通过物理公式从基本量"算"出来，这就是导出量。

定义
由基本量按物理公式组合而成的物理量，如速度、力、能量、动量
导出单位
由基本单位按公式组合得到，如 m/s、kg·m/s²（即 N）、kg·m²/s²（即 J）
量纲式
用 L、M、T 表示导出量与基本量的关系，如 [v]=LT⁻¹、[F]=MLT⁻²
量纲分析
利用量纲一致性检验公式正确性，或在缺理论时推导未知物理关系
乐高积木对应 →基本单位拼出导出单位

基本单位是基础积木块，物理公式是拼装图纸，导出单位是按图拼出的复合结构——同一套积木能拼出无穷多种结构

[v]=LT−1,[a]=LT−2,[F]=MLT−2[v]=LT^{-1},\quad [a]=LT^{-2},\quad [F]=MLT^{-2}
4第 4 页 · 导出量

导出单位

上一页讲到力学只需要三个基本单位：米、千克、秒。但日常要表达速度、加速度、力、能量——这些量怎么办？答案是把基本单位按物理公式「组合」起来，这就是导出单位。

定义
由基本单位通过乘除运算组合而成
一致性原则
严格对应导出量的物理定义方程，公式怎么写单位就怎么定
量纲表达
每个导出单位对应唯一的 [mᵃ·kgᵇ·sᶜ] 量纲式
力学常见例子
m/s 速度、m/s² 加速度、N=kg·m/s² 力、J=kg·m²/s² 能量
字母拼成单词对应 →基本单位组合成导出单位

字母单独没词义，按构词法拼起来才有意义；基本单位按物理公式拼起来才形成新物理量

v=st⇒m/s;F=ma⇒kg⋅m/s2=N;E=12mv2⇒kg⋅m2/s2=Jv=\tfrac{s}{t}\Rightarrow\text{m/s};\quad F=ma\Rightarrow\text{kg·m/s}^{2}=\text{N};\quad E=\tfrac{1}{2}mv^{2}\Rightarrow\text{kg·m}^{2}/\text{s}^{2}=\text{J}
5第 5 页 · 导出单位

国际单位制 SI

国际贸易靠统一货币，否则换算能把人算疯——物理世界也一样：跨国科研、跨国工程必须先约定一套共同的度量衡，这就是国际单位制 SI。

SI 的本质
全球科学家共同遵守的计量公约，由国际计量大会 CGPM 维护更新
力学涉及三个基本单位
长度 m、质量 kg、时间 s——力学世界的全部字母表
导出量统一表达
速度、加速度、力、压强、能量…都写成 m、kg、s 的幂次组合
锚定自然常数
2019 年起千克由普朗克常数定义，不再依赖巴黎的实物原器
量纲齐次原则
等式两边量纲必须一致——检验公式自洽性的第一道关卡
国际贸易的统一货币对应 →国际单位制 SI

没有统一货币跨国交易寸步难行；没有 SI，跨国科研同样寸步难行

[F]=[m][a]⇒kg⋅m⋅s−2=N[F] = [m][a] \Rightarrow \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} = \text{N}
6第 6 页 · 国际单位制 SI

物理量单位之间的关系

你会算速度：v = s/t，单位自然是 m/s。为什么会是这样？因为物理量之间的运算关系，决定了单位之间的关系。

量决定单位
物理量间的代数关系，与单位间的代数关系结构完全对应
导出单位的量纲式
导出单位由基本单位的幂次乘积构成，如 N = kg·m·s⁻²
单位换算因数
等价单位间有固定换算比，关系式结构不变：1 km/h = 1/3.6 m/s
数值方程 ≠ 物理量方程
含单位的是物理量方程；纯数字方程会丢信息，等式两端单位可能不一致
货币兑换对应 →单位换算

1 美元≈7 元是汇率桥；1 m = 100 cm 也是桥，等式两边结构相同

[F]=[M]⋅[L]⋅[T]−2[F]=[M]\cdot[L]\cdot[T]^{-2}
7第 7 页 · 物理量单位之间的关系

米的定义

我们拿尺子量长度，可「一米」本身到底是什么长度？尺子又是按什么造的？标准必须脱离人手，扎根于自然。

演变四阶段
子午线、原器棒、氪-86 波长，到光速定义
当代定义
光在真空中 1/299,792,458 秒内经过的路径长度
设计逻辑
不易测准的长度，转化为易测的时间间隔
隐含倒置
秒（铯原子钟）成为事实上的更基础单位
借钟表的精度丈量空间对应 →用光速与时间定义长度

光速是固定不变的「桥梁」：长度测不准，就绕到时间那边去测，再换算回来

1 m=c⋅1299 792 458 s1\,\text{m} = c \cdot \dfrac{1}{299\,792\,458}\,\text{s}
8第 8 页 · 米的定义

秒的定义

米的定义靠光速钉死了，那秒呢？靠太阳不够稳——地球自转一年会"偷懒"约 1 秒，每年还得插闰秒来补。于是我们换了一个永远不打盹的"钟摆"。

从天体到原子
原以地球自转 1/86400 日为秒，后发现其不均匀，1967 年改用原子跃迁
铯-133 超精细跃迁
原子基态两个超精细能级间跃迁，频率极稳定且普适
锁定数值 9 192 631 770
人为约定 ΔνCs 恰为 9,192,631,770 Hz，秒即其倒数的整数倍
复现精度最高的单位
相对不确定度约 10⁻¹⁶，是 SI 七大基本量中精度之冠
找一只永不走音的节拍器对应 →秒的原子定义

地球自转会"偷懒"，原子跃迁才是永不跑偏的节拍

ΔνCs=9 192 631 770 Hz\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770~\text{Hz}
9第 9 页 · 秒的定义

千克的定义

前面把米和秒都搬到了常数上。但质量单位千克，直到 2019 年才完成同样的旅程——它是 SI 基本单位里最后一个「靠实物说话」的。

国际千克原器
1889 年起以一根铂铱合金圆柱体作为千克定义，存于巴黎国际度量衡局地下保险库
原器漂移
与官方副本比对发现原器质量存在微克级漂移，百年间约变化 50 微克
2019 年重新定义
固定普朗克常数 h = 6.62607015×10⁻³⁴ kg·m²/s 的数值,从此千克由常数定义
Kibble 瓦特天平
用电磁力平衡重力,把质量测量追溯到电学量和普朗克常数 h
SI 全面去实物化
2019 年同日安培、开尔文、摩尔也重新定义,七个基本单位全部由常数定义
金本位货币对应 →千克由原器定义

金块会磨损、掺假;铂铱原器会吸附气体、微量漂移。换成常数就像换成电子记账——规则本身不会再变

h=6.62607015×10−34 kg⋅m2/sh = 6.62607015 \times 10^{-34} \ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}
10第 10 页 · 千克的定义

本节要点

  • ✓SI 共 7 个基本量，力学只用到 3 个，挑哪几个是约定
  • ✓导出单位由物理公式联结构成，公式改了单位跟着改
  • ✓基本单位定义会变——2019 年千克用普朗克常数重新锚定
  • ✓量纲一致是公式自洽的必要条件，也是检查错误的工具
  • ✓换单位制只换表达，不会改写物理规律本身
延伸主题：自然单位制（c = ℏ = 1）量纲分析与 π 定理无量纲数与相似律
11第 11 页 · 本节要点

课后思考

先自己思考再看参考答案。三个问题对应回顾、应用、迁移三个层次。

1为什么 2019 年后千克的定义从实物原器改成了基于普朗克常数？

参考答案实物原器会磨损、丢失，量值会随时间漂移；用普朗克常数定义后量值永久稳定，且可在任何实验室复现。

2如果用「光年」作长度单位、「年」作时间单位，速度的单位应该写成什么？

参考答案由 v=距离/时间 可得「速度=1 光年/年」≈光速 c 本身。这种「自然单位制」让 c≈1，体现了单位是人为约定。

3七个基本量真的完全独立吗？温度（开尔文）与物质的量（摩尔）之间有没有隐藏的依赖？

参考答案SI 中它们被约定独立。但温度与平均动能有关，物质的量与粒子数有关——「独立」是人为选择，不是物理必然。

12第 12 页 · 课后思考