（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性（一）
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线性系统理论 · 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性
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线性系统理论 · 第四周（第二部分：线性系统的时域理论）：状态变量的能控性和能观性
LST3-1-1 能控性与能观测
能控性问「输入能不能驾驭状态」：从任意初态出发，能在有限时间内转移到任意终态。
LST3-1-2 能控性与能观测
能控性的严格化：对任意初态存在有限时刻与允许输入完成转移。
LST3-1-3 能控性与能观测
能观测性问「输出能不能反推状态」：有限时间输出唯一确定初始状态。
LST3-1-4 能控性与能观测
能观性针对不可直接测量的状态：可测量部分无须讨论。
LST3-1-5 能控性与能观测
不可控或不可观模态的直观解释：它们与传递函数零极相消而「隐身」。
LST3-1-6 能控性与能观测
能控能观决定系统可否分解分析：可控可观部分才是外部行为的全部来源。
LST3-2-1 能控性与能观测
格拉姆矩阵判据：能控性格拉姆矩阵非奇异 ⇔ 系统完全能控。
LST3-2-2 能控性与能观测
能控性秩判据：可控性矩阵 [B AB … A^{n−1}B] 满秩即能控。
LST3-2-3 能控性与能观测
能观性格拉姆矩阵判据：Wo(t) 非奇异 ⇔ 完全能观。
LST3-2-4 能控性与能观测
能观性秩判据：[C; CA; …; CA^{n−1}] 满秩即完全能观。
LST3-2-5 能控性与能观测
PBH 特征向量判据：不存在与 B 正交的 A 左特征向量 ⇔ 能控。
LST3-2-6 能控性与能观测
PBH 秩判据：对每个特征值 λ，[λI−A, B] 满秩 ⇔ 能控。
LST3-2-7 能控性与能观测
约当规范形判据：每个约当块首行对应的 B 分量行非零即能控。
LST3-2-8 能控性与能观测
判据的选择：手算用秩判据，理论证明用 PBH，看结构用约当形。
能控性判据自测
能控性秩判据检查的是哪个矩阵的秩？
本节要点
- ✓能控：输入能转移任意初态
- ✓能观：输出能唯一反推初态
- ✓秩判据手算最方便
- ✓PBH 与约当形看清模态结构
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
参考答案不可控模态无法被输入激励，其极点在 G(s) 中与零点相消而消失。看到传递函数中发生零极相消，就应警惕内部藏着不可控或不可观的模态。
参考答案若存在 A 的左特征向量与 B 正交，说明该特征方向上的模态「输入够不着」，不可控。PBH 判据就是逐一检查每个特征方向是否都有输入通道到达。
参考答案它由定义直接构造，理论上最严谨；但矩阵含指数函数积分，手算困难。秩判据只涉及有限个矩阵乘积，才是工程手算的首选。