函数的概念及其表示

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✦ 函数的概念及其表示数学函数的概念及其表示自变量
形式化定义映射本质等价表述边界陷阱

函数的概念及其表示

理清函数的形式化定义、定义域陪域的边界细节，以及三种表示法的内在等价关系

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形式化定义映射本质等价表述边界陷阱

函数的概念及其表示

理清函数的形式化定义、定义域陪域的边界细节，以及三种表示法的内在等价关系

1第 1 页 · 函数的概念及其表示

函数（Function）

从上一页我们知道函数描述的是一种对应关系。现在我们要把这种关系严格化：什么样的对应关系才算'函数'？边界在哪里？

对应关系
集合A中每个元素，在集合B中有唯一元素与之对应
定义域与值域
定义域是所有输入x的集合；值域是实际输出，是陪域的子集
唯一性约束
一个x只能对应一个y；多个x对应同一个y是被允许的
三种表示方式
解析式、图像法、表格法，本质相同，只是视角不同
自动售货机对应 →函数映射

投入硬币+按键（输入）吐出对应商品（输出）；按A键无论几次都出同一瓶可乐

f:A→B, ∀x∈A, ∃! y∈B, y=f(x)f: A \to B,\ \forall x \in A,\ \exists!\, y \in B,\ y = f(x)
2第 2 页 · 函数（Function）

因变量（函数值）

上一页我们把函数 f 比作'加工机器'，x 是喂进去的原料。那 y——机器吐出来的结果——在数学里有两个名字：因变量、函数值。同一个东西，不同视角，细节就在这里。

因变量
y=f(x) 的输出量；值随 x 决定，故名'因'变量
函数值 f(x₀)
函数 f 在 x=x₀ 处取到的具体数值，本质是一个数
值域
所有函数值的集合，记 f(X)；是陪域 Y 的子集
y 与 f(x) 的区分
y 是变量符号（整体身份），f(x₀) 是某点的具体取值
同值可对应多 x
同一函数值可由不同输入给出，如 f(x)=x² 中 f(2)=f(-2)=4
自动售货机对应 →因变量/函数值/值域

按键 x 决定吐出饮料 f(x)；机内饮料种类即值域；不同按键可吐出同款

$\text{值域} = f(X) = \{f(x) \mid x \in X\} \subseteq Y$
3第 3 页 · 因变量（函数值）

定义域（Domain）

想象自动咖啡机：只认 1 元硬币，塞 5 毛不理、塞纸币也吐——能处理的输入有限。函数也一样：不是所有 x 都能塞，能塞的那些 x 构成的范围，就是定义域。

定义域
使 f(x) 有意义的全部 x 的集合，记作 D_f
聚焦输入端
定义域只问'x 能取什么'，不问'y 是多少'
三大禁区
分母≠0、根号内≥0、对数真数>0
与值域配对
定义域管'输入菜单'，值域管'可能输出'
自动咖啡机只认特定硬币对应 →定义域是函数的合法输入集

机器只对允许面额有反应；定义域外的 x 输进去，函数'消化不了'，无对应 y

Df={x∣f(x) 有意义}D_f = \{x \mid f(x) \text{ 有意义}\}
4第 4 页 · 定义域（Domain）

值域（Range）

上一页明确了哪些输入可以进入函数。现在逐个观察这些输入经计算后会出现哪些结果，把所有“实际出现”的输出收集起来；视角就从输入转向结果。

值域（Range）
固定函数 f:D→C 后，值域是 D 中输入实际产生的全部输出。
陪域区别
记作 Range(f)=f[D]；它必含于陪域 C，但不必等于 C。
计算方法
可通过代入检验并合并重复结果；也可反问哪些 y 存在 x∈D 使 f(x)=y。
边界提醒
D 非空时，值域必非空；陪域 C 中可能有值永远取不到。
典型应用
判断某值能否取到、在有序范围内求最值，并为相关方程或不等式的解集判断提供依据。
自动售货机取货口对应 →函数值域

把定义域想成允许按的按钮，取货口实际掉出的商品就是 Range(f)；柜中摆放但本次没掉出的不计入。

Range⁡(f)=f[D]={f(x)∣x∈D}⊆C\operatorname{Range}(f)=f[D]=\{f(x)\mid x\in D\}\subseteq C
5第 5 页 · 值域（Range）

对应关系

前面我们认识了定义域和值域。现在的问题是：定义域里的每个 x，到底凭什么找到值域里的那个 y？这把 x 和 y 串起来的「规则」，就是对应关系——函数三要素中最核心的一环。

对应规则的定义
每个 x∈定义域，恰好有唯一一个 y∈值域 与之对应，记作 y=f(x)
完整性（无遗漏）
定义域中每个元素都必须有对应，不能存在「无家可归」的 x
唯一性（一夫一妻）
同一个 x 只能对应一个 y，不允许一对多；否则不构成函数
与一般关系的区别
一般关系允许多对多、一对多；函数只接受「多对一」与「一对一」
自动售货机对应 →对应关系 f

投币选品（输入 x）→ 唯一出货（输出 y）；按一次不能出两个，按了也不能落空

∀x∈A, ∃! y∈B, y=f(x)\forall x \in A, \, \exists!\, y \in B, \, y = f(x)
6第 6 页 · 对应关系

函数的解析表示法

对应关系是函数的灵魂，但要让它可计算、可推导，最常见的做法就是把它写成一个数学公式。今天我们深入解析表示法的细节，以及它的能力边界。

解析式的定义
用含变量的等式把对应关系表达为可计算的代数式
标准形式
y = f(x)，等号左边写因变量，右边写含自变量的表达式
核心优势
精确、可代数运算、可微积分推导，能由公式得到大量信息
重要边界
不是所有函数都能写出解析式，例如狄利克雷函数就无公式
分段函数也是解析式
不同区间用不同公式表达，整体仍是合法的一个解析式
计程车计价规则对应 →函数的解析式

起步价 + 公里数 × 单价 = 应付金额，输入距离立刻出 y

f(x)={x2,x≥0−x,x<0f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
7第 7 页 · 函数的解析表示法

函数的列表法

上页的 y=2x+1 写得很漂亮，可工程现场传感器的温度读数、公交发车时刻表，这些离散数据根本写不出公式。换个思路：把 x 和 f(x) 一对对列出来，也能完整描述一个函数。

列表法的形态
把 x 与对应的 f(x) 并排成两栏，表格的每一行就是一个映射记录
何时启用
无解析式可写、实验采集、只关心有限点；或如三角函数表专门造表供人查阅
本质洞察
表格不是"函数的近似"，而是函数在其定义域子集上的完整定义
数学延伸
在集合论中即"关系"的特例——每个 x 至多映到一个 y
菜单 / 价目表对应 →函数的列表法

菜品对应价格，输入是什么菜，输出就是多少元；表上查不到说明不在定义域内

xf(x)1327313\begin{array}{|c|c|}\hline x & f(x)\\ \hline 1 & 3\\ 2 & 7\\ 3 & 13\\ \hline \end{array}
8第 8 页 · 函数的列表法

自变量

前几页我们讲了因变量是被函数「算出来」的量。那反过来，是谁在「驱动」这个计算？答案就是自变量——你主动「喂给」函数的输入。

定义
在 y=f(x) 中，x 称为自变量，是主动取值、输入到函数里的量
与定义域绑定
自变量允许取值的范围就是定义域 D，二者完全一一对应
驱动因变量
自变量每取定一个值，对应关系 f 随之唯一确定因变量的值
多个自变量
f(x,y,z) 中 x、y、z 都是自变量，多个输入共同决定输出
独立性的边界
自变量是相对函数关系而言的输入角色，并不要求物理上独立
自动售货机对应 →函数的输入端

你选按钮+投币（自变量），吐出饮料（因变量）；可选按钮组合就是定义域

y=f(x),x∈Dy = f(x), \quad x \in D
9第 9 页 · 自变量

函数的图象法

上一页的列表法只能看到一个个孤立的数字点。像股票分时图那样把无数 (x, y) 描在坐标系里连成起伏的曲线，一眼看出走势——这便是图象法。

定义与构成
平面直角坐标系中所有满足 y=f(x) 的点的集合；横轴 x 表示自变量，纵轴 y 表示函数值
读图方法
给定 x 作垂线，交点的纵坐标即为 y；反过来给定 y 作水平线，可能对应多个 x
直观优势
单调性、极值、零点、周期性、变化快慢等整体性质一眼可见，无需复杂计算
局限与边界
精确数值难以读取；依赖解析式或密集采样；细微结构可能被比例尺遮蔽
股票分时图对应 →函数图象

横轴时间、纵轴价格，曲线起伏直观反映趋势——与函数图象「自变量—函数值」结构对应

G(f)={(x, f(x))∣x∈D}G(f) = \{(x,\, f(x)) \mid x \in D\}
10第 10 页 · 函数的图象法

分段函数

前面学过函数可用解析式、列表、图象表示，但都默认「一条规则走到底」。现实中，很多量在不同区间遵循不同规律——比如出租车计费、个人所得税。这种「分段处理」的函数，就是分段函数。

定义
在定义域的不同子区间上用不同解析式表达的函数，本质仍是单一函数
分段点
各段解析式的交界点，函数值由该点所属段的公式唯一确定
整体唯一性
每个 x 只对应一个 y，分段不代表「多对一」，不是几个函数拼凑
图象特征
由若干段曲线拼接而成，分段点处可能连续、也可能跳跃间断
求值顺序
先判断 x 落入哪一段，再代入该段公式，绝不能跨段混算
城市交通限速对应 →分段函数

步行街20、主干道50、高速120——同一辆车在不同路段守不同规则，但仍是「这辆车在跑」

f(x)={x,x≥0−x,x<0f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
11第 11 页 · 分段函数

本节要点

  • ✓函数本质是「对应关系」，公式只是载体之一
  • ✓定义域先于对应关系，它决定函数有无意义
  • ✓值域由定义域与对应关系共同决定，不能独立指定
  • ✓分段函数仍是单值对应，整体仍是一个函数
  • ✓解析式、列表、图象描述同一函数，互有取舍
延伸主题：函数的单调性与极值复合函数与反函数映射与函数的关系
12第 12 页 · 本节要点

课后思考

先独立思考再对照参考答案——问题没有唯一答案，思考路径比结论更重要。

1为什么函数定义强调「每个自变量只能对应唯一的因变量」？如果允许一个 x 对应多个 y，会破坏哪些性质？

参考答案想一想「对应关系」的本质：每个 x 必须对应唯一 y，定义域到值域的映射才确定。多值对应时，一个 x 不知该找哪个 y，对应关系就模糊了，函数就退化成普通关系。

2描述出租车计费或一天气温变化时，图象法、解析法、列表法哪个最顺手？为什么单一表示法有时不够用？

参考答案起步价+里程价适合分段函数（解析法）；气温随时间变化用图象法最直观。先问自己「想解决什么问题」——画趋势、算数值、查具体值，对应不同表示法，单一形式往往只能照顾一面。

3分段函数在不同区间用不同公式，它本质上是一个函数还是几个函数拼起来的？判断「是否同一个函数」的关键是什么？

参考答案判断依据是定义域与对应关系的整体性，而非公式形式。分段函数共享一套映射规则（只是按区间分支），仍是「一个函数」。关键看输入到输出的映射是否完整、唯一。

13第 13 页 · 课后思考