数学大学
第一类曲面积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
第一类曲面积分
微积分——多元函数与重积分 · 第三章重积分
第一类曲面积分的引入
弯曲曲面壳的质量问题：面密度不均匀，沿曲面积累。
分割
曲面切成小片，每片近似平面
求和取极限
Σρ·ΔS 的极限即总质量
第一类曲面积分的定义
对面积的曲面积分：分割、采样、求和、取极限，与曲面的侧无关。
定义
∬_Σ f(x,y,z) dS
不分侧
只对面积，正反两面同值
第一类曲面积分的性质
性质与曲线积分平行：线性、对曲面可加、保序。
可加
曲面切成两片分别积分
对称性
曲面与函数对称匹配时化简
第一类曲面积分的计算公式
投影计算法：一投（选坐标面）、二代（曲面方程）、三换（dS 换投影微元）。
dS 公式
向 xoy 面投影时 dS=√(1+z_x²+z_y²)dxdy
投影要求
曲面与投影方向不平行，逐点对应
第一类曲面积分的计算例题
球面例题：利用球面对称性，密度均匀时直接用表面积。
对称
密度均匀且球面全对称，积分=密度×面积
球面积
半径 R 的球面面积 4πR²
第一类曲面积分的计算例题
一般例题：z=f(x,y) 型曲面上代入投影法完整计算。
流程
定投影区域、代曲面、写 dS、算二重积分
易错
漏掉根号倾斜因子是高频错误
本节要点
- ✓物理原型：变密度曲面壳的质量
- ✓对面积积分，不分侧
- ✓一投、二代、三换的投影算法
延伸主题：算球面均值型积分做一次投影法完整计算
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1第一类曲面积分与第二型曲面积分的本质区别是什么？
参考答案第一型对「面积」积分，关心标量（密度、温度）的累积，不分侧；第二型对「坐标投影面积」积分，关心向量场穿过曲面的通量，必须选 定侧。物理问题有无方向性，决定用哪一种。
2向 xoy 面投影失败时怎么办？
参考答案曲面存在竖直切平面（z 无法表为 x,y 的函数）时投影失效，改向 yoz 或 xoz 面投影，或把曲面分片使每片满足投影要求。三选一总有一个可行。
3第一类曲面积分的对称性化简与曲线积分有何异同？
参考答案原理相同：积分域（曲面）对称加被积函数相应奇偶，积分为零或减半。差别只在域的对称形态——曲面关于坐标面对称，而非曲线关于轴对称。