已经解决了的问题 Solved problems
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概率论——不确定性的科学 · 单元4：离散随机变量 Unit 4: Discrete random variables
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概率论——不确定性的科学 · 单元4：离散随机变量 Unit 4: Discrete random variables
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离散随机变量习题一：由实际问题写出 PMF 并计算指定事件的概率。
建模
定义随机变量并列出全部取值
求 PMF
逐取值计数或用组合公式
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离散随机变量习题二：用期望值法则计算函数的期望。
期望法则
E[g(X)]=Σg(x)p(x) 逐项加权
检查
各项权重之和应为 1
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离散随机变量习题三：二项与几何分布的识别与计算。
识别
独立重复计数用二项，等待首次成功用几何
公式
二项 C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ；几何 (1−p)^{k−1}p
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离散随机变量习题四：指示变量与线性性求复杂计数期望。
拆分
把目标期望拆成指示变量之和
线性性
逐个算期望相加，无须独立性
本节要点
- ✓习题覆盖 PMF、期望、两大分布
- ✓期望值法则逐项加权
- ✓指示变量加线性性处理复杂计数
延伸主题：重做一遍课上习题总结自己的易错点
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1这组习题课的训练重点是什么？
参考答案把「随机变量」从概念变成工具：见到实际场景先定义变量与 PMF，再按需选择期望或方差计算。四种题型分别对应建模、期望、分布识别与线性性技巧。
2求 PMF 时如何保证「不重不漏」？
参考答案先明确随机变量的取值集合（互斥且穷尽），再对每个取值独立计数。取值之间不能交叉重叠——比如「至少一个正面」与「恰好一个正面」就重叠，不能同时作为取值。
3二项与几何分布的「成功」定义可以互换吗？
参考答案可以对称地定义：把「失败」当成功，参数 p 换成 1−p。识别时关键看题目问的是「成功次数」还是「等待步数」，再看 p 指哪一边，别被文字表面迷惑。