数学大学
重积分（6月14日之前看完
高等数学习题课 · 第七章 多元函数积分学
按 空格/→ 演示下一步
全部页面点击任意一页，跳回舞台从这页播放
数学大学
重积分（6月14日之前看完
高等数学习题课 · 第七章 多元函数积分学
函数极限的定义（1）
重积分学习前的复习：函数极限的直观含义再确认。
趋势
x→x₀ 时 f(x) 无限接近常数
应用地位
累次积分内层限与收敛判断都要用它
函数极限的定义（2）
ε-δ 语言的复习：任意 ε 找 δ 的挑战式结构。
结构
任意 ε>0，存在 δ>0 使不等式成立
要点
δ 的存在性是关键，具体值不唯一
函数极限的定义（3）
复习收尾：左右极限与极限存在的关系在重积分邻域分析中的再现。
单侧
左右极限相等才存在
衔接
累次积分的次序交换依赖这类极限分析
本节要点
- ✓复习：极限看趋势不看该点
- ✓ε-δ 结构：任意 ε 找 δ
- ✓左右极限相等才存在
延伸主题：重做一道 ε-δ 证明进入重积分章节学习
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么重积分章节前要复习函数极限？
参考答案累次积分的内层限、反常积分的收敛判断、积分次序交换的合法性，全都建立在极限与连续的概念上。工具 rusty 时，后面的每一步都会摇摇晃晃。
2ε-δ 复习中「任意」与「存在」的顺序为什么不能颠倒？
参考答案定义要求对任意小的误差带都存在应对的 δ——「任意」在前意味着误差由对方出，「存在」在后表示我来应对。顺序颠倒就变成了自选考题，失去判定意义。
3左右极限相等 ⇔ 极限存在，在分段函数中怎么应用？
参考答案分段点两侧用不同解析式分别求极限，两侧结果相等则该点极限存在（可与函数值无关，连续才需要相等）。这一步是判断分段函数连续性与可导性的入口。