等差数列

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数列公式推导易错辨析

等差数列

从定义出发，推导通项公式与求和公式，弄清每个公式适用的边界条件

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数列公式推导易错辨析

等差数列

从定义出发，推导通项公式与求和公式，弄清每个公式适用的边界条件

1第 1 页 · 等差数列

利用递推关系求通项

你已经知道等差数列的核心是相邻两项差恒为 d，公差 d 也就此确定。但给定 a_1 后，通项公式 a_n=a_1+(n-1)d 是怎么从这一句定义一步步推出来的？

递推关系

用相邻项表达数列规律的等式，描述「下一项由前一项怎么变」

等差的核心递推

a_{n+1}=a_n+d，公差 d 是每一步的固定增量

累加法

把 n-1 个递推式相加，消去中间项得到通项

必须给定首项

递推式本身无法唯一确定数列，必须给出 a_1

上楼梯对应 →累加法求通项

每级比前一级高 d，把 n-1 级台阶高度加起来就是第 n 级的高度

a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_1+(n-1)d

2第 2 页 · 利用递推关系求通项

利用倒序相加求和

已知通项后，逐项相加求和未免繁琐。一个经典做法是：把 S 正着写一遍，再倒着写一遍，项项对齐后相加，就能一击求出 Sₙ。

倒序重写同一和

写出正序 S，再将 S 倒序抄一遍，项与项上下对齐

对应项配对求和

第 i 项与第 n+1-i 项配对，每对之和等于 a₁+aₙ（常数）

n 对相加得公式

共 n 对相加得 2Sₙ = n(a₁+aₙ)，即 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

关键前提：d 恒定

公差 d 恒定才能保证每对和相等；d=0 时退化为 na₁ 仍成立

男女舞伴面对面站对应 →倒序相加的项配对

男士按身高升序、女士按降序，每对舞伴身高之和相同

S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}

3第 3 页 · 利用倒序相加求和

等差数列

你每月往账户里固定存 100 块：第 1 个月 100，第 2 个月 200，第 3 个月 300……这种「每一步都增加同样多」的规律，在数学里有一个专属的名字。

核心定义

从第 2 项起，每一项与前一项的差恒等于同一个常数 d

公差 d 的边界

d 可以是 0、负数、分数、无理数，不局限于正整数

两要素决定唯一性

已知首项 a₁ 和公差 d，整个数列每一项就都被锁定

典型应用场景

等时间间隔的均匀增减：存款、折旧、人口匀速变化等

爬固定高度的楼梯对应 →等差数列

每级台阶上升高度都相同，d 就是「台阶高度」，首项相当于地面高度

a_{n+1} - a_n = d \quad (n \geq 1, \ d \text{ 为常数})

4第 4 页 · 等差数列

公差

从递推式 a_{n+1} = a_n + d 出发，那个加在后面的 d 才是等差数列真正的灵魂——它决定数列怎么走、走多快、走哪个方向。

定义

d = a_{n+1} - a_n，对任意 n 都成立，是「等差」二字唯一的刻画参数

几何意义

把数列画到数轴上，d 就是相邻两个点之间那一段距离

符号与单调性

d > 0 数列递增，d < 0 数列递减，|d| 越大升降越快

边界 d = 0

数列退化为常数列，仍满足等差定义，属于易被忽视的退化情形

匀速走路的步幅对应 →公差 d

每一步迈的距离相同，d 就是这个固定步长；d>0 往前走，d<0 倒退

d = a_{n+1} - a_n \quad (n \geq 1)

5第 5 页 · 公差

等差中项

前面学过公差 d，知道相邻两项差是定值。那给你三个数 a、b、c，怎么快速判断它们能不能排成等差？这就要用「等差中项」。

定义

a, b, c 成等差时，b 叫 a 与 c 的等差中项

核心等式

b = (a+c)/2，等价于 a + c = 2b

判定应用

验证三项是否成等差，只看中间项是否等于两端项平均

队列中间位置对应 →等差中项

三人等距站队时中间那个到两边距离相等，数上就是两端平均值

2b = a + c \Longleftrightarrow b = \dfrac{a+c}{2}

6第 6 页 · 等差中项

等差数列的递推公式

上一节学过等差中项——知道相邻两项便能跳着算。但从 a₁ 一路推算到 a₁₀₀，是每步都靠中项公式回跳，还是顺着 aₙ 一项项往下推？这正是递推公式登场之处。

递推表达式

后一项等于前一项加上公差，每一项都唯一由前一项决定

两个初始量

必须同时已知首项 a₁ 与公差 d，缺任意一个数列都不唯一

只能相邻用

递推关系只在相邻两项之间成立，不能跳过中间项直接代入

适用场景

逐项递推与数学归纳法证明时用，求特定项通常仍走通项公式

接力赛传棒对应 →等差数列递推

每一棒从前一棒出发再加固定步幅 d，一棒接一棒传完全程

a_{n+1} = a_n + d \quad (n \geq 1)

7第 7 页 · 等差数列的递推公式

等差数列的通项公式

上一页用递推 a_n = a_{n-1}+d「一步步走」求通项，每一步都得等前一项算完。这页把这条递推链完全「摊开」，直接给一个不用递推就能算的公式——通项公式。

公式本体

a_n = a_1 + (n-1)d，由首项、公差、项数直接算出第 n 项的值

三要素

a_1 是起点，d 是步长，n 是走到第几步，三者缺一不可

典型应用

已知 a_1、d 与 n，可一步到位求 a_n，无需逐项递推

递推的展开

把 a_n=a_{n-1}+d 反复代入即得通项；二者完全等价

边界讨论

n=1 时退化为 a_1=a_1 自洽；d=0 时退化为常数列 a_n=a_1

出租车计费对应 →通项公式

起步价 a_1 元，每公里加价 d 元，第 n 公里末的车费就是 a_1+(n-1)d

a_n = a_1 + (n-1)d

8第 8 页 · 等差数列的通项公式

等差数列与一次函数的关系

上一页我们写出通项 a(n)=a(1)+(n-1)d。展开括号，你会发现这个公式长得非常眼熟——它跟初中的一次函数几乎是同一个东西。

通项即一次函数

展开后 a(n)=dn+(a(1)-d)，n 是一次函数的自变量

定义域是关键边界

n 只能取正整数 N*，不能取任意实数

图像是离散点列

(1,a(1))、(2,a(2))… 这些点共线

斜率等于公差

直线斜率就是公差 d，截距是 a(1)-d

反向借鉴一次函数

可用单调性、零点等性质分析数列

笔直公路上的里程碑对应 →一次函数图像与等差数列

公路是连续的直线（一次函数），里程碑只在整公里位置出现（n∈N*），都落在同一条路上

a_n = a_1 + (n-1)d = dn + (a_1 - d)

9第 9 页 · 等差数列与一次函数的关系

等差数列的前 n 项和公式

上节用倒序相加把 1+2+…+100 算成 5050——那只是特例。把所有等差数列的求和都收进一个公式，才是这一步真正的目标。

首尾配对式

Sₙ = n(a₁+aₙ)/2，已知首末项与项数时首选

递推展开式

Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2，已知 a₁、d、n 时首选

两式互化

用通项 aₙ = a₁+(n-1)d 替换，两式严格等价

二次函数视角

Sₙ 是 n 的二次函数，缺一次项，二次项系数为 d/2

d=0 边界

公差为 0 时公式仍成立,退化为 Sₙ = n·a₁

梯形面积对应 →前 n 项和公式

a₁…aₙ 看作等宽阶梯,总面积=(a₁+aₙ)·n/2

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d

10第 10 页 · 等差数列的前 n 项和公式

本节要点

✓公差恒定是唯一不变量，递推、通项、和式都从它派生
✓通项即离散的一次函数，斜率就是公差 d
✓Sn 两种公式本质等价，倒序相加揭示对称配对
✓d=0 时数列退化为常数列，公差相关讨论需作边界处理

延伸主题：等比数列的对照学习等差数列的判定与证明数列求和的通用方法

11第 11 页 · 本节要点

课后思考

三道开放题，先自己思考再看参考答案。思路合理即可，不追求唯一答案。

1通项公式 a_n = a_1 + (n-1)d 是怎么从递推关系 a_{n+1} = a_n + d 一步步推出的？

参考答案类比走路：从 a_1 出发，每次走 d 步，到第 n 项要走 (n-1) 步。所以 a_n = a_1 + (n-1)d。

2倒序相加求和法中，若项数为奇数，中间那一项该如何处理？这个配对技巧还适用吗？

参考答案奇数项时正中间一项「自己配自己」（a_middle = a_middle），单独加一次不影响总和。配对思想仍成立。

3等差数列的求和公式对所有正整数 n 都成立吗？它在 n=0 或 n=1 时还说得通吗？

参考答案n=1 时 S_1 = a_1，公式给出 1/2·(2a_1) = a_1，成立。n=0 时 S_0=0（空和），公式也成立。求和语境下 n 通常取正整数。

12第 12 页 · 课后思考