测量一片叶子的长度是 3.2 厘米，称一颗草莓重 12.5 克——这些带小数点的数字，整数表示不了。

上一页我们看到，计算机不能像写数学那样随手点个小数点。要把一个小数塞进有限的二进制位里，必须把它拆成三件事：谁负责正负、谁负责量级、谁负责精度。

单精度32位与双精度64位的位布局图

上页看到 32 位切分成 1 位符号、8 位阶码、23 位尾数——但凭什么是这个切分？因为背后有一个统一江湖的标准。

把一个十进制实数变成 IEEE 754 编码，要依次过四道关。

手把手演示 -6.5 的完整编码过程

用 Python 揭开 0.1 的机器真相：为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3？

高亮行依次演示：① 0.1+0.2≠0.3 的现象；② 0.1 的真实存储位 0x3fb999999999999a；③ 解出符号/阶码/尾数三段；④ Decimal 还原十进制真值，证明 0.1 从来不是精确的 1/10。

编码 -6.5 时我们写了 1.1011 × 2^2，为什么必须把整数部分强行凑成 1？这不是格式洁癖，而是 IEEE 754 用来"偷精度"的核心设计。

上一页讲了规格化数的最小值是 2^(-126)。那 0 到 2^(-126) 之间真的没有数？规格化在这里设了门槛——次正规数就是跨过门槛、填满这片空白的角色。

从0到规格化区，两个边界点紧邻，间距等于正常步长。

上一页 0.1 算出来已经不再是 0.1，这背后就是「精度」在作怪。尾数 24 位听起来挺充裕，可它真能给你 24 位精确度吗？

从正零出发向右：非规格化→规格化→有限最大→溢出无穷；左侧镜像。

学完表示范围，自然会追问：计算结果跑出范围怎么办？比如 1÷0、0÷0。IEEE 754 的解法很优雅——把『指数全 1』本该作废的编码，专门留给两个特殊值兜底。

上页编码 0.1 时，我们悄悄把无限二进制截到 23 位。但 IEEE 754 没简单说「五入」，而是给了 5 种模式。真实值恰在两个可表示数的正中间——选哪边？

用 <float.h> 的宏与 printf 格式说明符，把机器参数打印出来对照看。

FLT/DBL_EPSILON 把上一页"精度"量化成具体数字；f 后缀决定字面量类型；%e/%g 对应科学计数法与最短表示。

用 union 让 float 与 uint32_t 共享同一段内存，直接看到 IEEE 754 的位模式。

union 让 float 与 uint32_t 共用 4 字节；写入浮点后用十六进制、二进制与位运算直接读出符号位、阶码、尾数字段，与 -6.5 的手工编码完全对得上。

一段 32 位内存，存整数和存小数走的路径天差地别——C/C++ 里那些隐式转换 bug，往往就藏在这。

验证对浮点数核心概念的理解

• ✓浮点 = 符号+阶码+尾数 的离散编码，用精度换范围
• ✓IEEE 754 用规格化让精度均匀，非规格化平滑到 0
• ✓0.1 不可精确：浮点运算是离散采样，非连续数学
• ✓浮点 ≠ 实数：比较看差值、累加顺序敏感、溢出变 ±∞
• ✓编码四步：符号→偏置阶码→隐含位+尾数→拼接

先自己琢磨，再对照参考答案看思路对不对。