期权定价与无套利均衡分析

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BSM模型无套利风险中性定价边界

期权定价与无套利均衡分析

看懂 BSM 定价推导逻辑与无套利均衡的适用边界

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BSM模型无套利风险中性定价边界

期权定价与无套利均衡分析

看懂 BSM 定价推导逻辑与无套利均衡的适用边界

1第 1 页 · 期权定价与无套利均衡分析

期权简介

上页讲完无套利定价公式，我们回头看期权本身长什么样。买房时交定金锁定价格——涨了按原价买赚差价，跌了大不了不买，定金就是最大代价。这种'花小钱锁未来选择权'的思路，就是期权。

期权是一种合约
买方付权利金，换来未来按约定价买入或卖出某标的的权利
权利而非义务
到期买方可选行权，也可放弃，最大亏损锁定在权利金，不会倒欠
看涨期权 Call
约定未来以行权价 K 买入标的的权利，押注上涨
看跌期权 Put
约定未来以行权价 K 卖出标的的权利，押注下跌
三大典型应用
对冲保值（买权当保险）、投机（杠杆放大）、套利与增收（卖权收租）
买房交定金对应 →买入期权

定金锁定买房选择权——涨了归你，跌了大不买；花小钱锁未来做某事的权利

CT=max⁡(ST−K, 0)（看涨）PT=max⁡(K−ST, 0)（看跌）C_T = \max(S_T - K,\, 0) \quad\text{（看涨）} P_T = \max(K - S_T,\, 0) \quad\text{（看跌）}
2第 2 页 · 期权简介

期权定价的基本无套利关系

前页我们讲了无套利的思想：市场不允许'白拿钱'的机会。现在要落地——怎么用这条原则给期权定价？答案很优雅：找一个组合，让它的收益曲线和期权一模一样，然后让两者价格相等。

复制原则
构造一个组合（标的+债券），使其到期收益与期权完全一致
一价定律
收益相同的资产，价格必须相同，否则存在套利
看涨-看跌平价
同标的、同到期日、同行权价的看涨与看跌期权价格存在严格关系
无套利边界
期权价格被严格夹在上下界内，如看涨期权价不超过标的现价
同款矿泉水两个货架对应 →相同收益的两个组合

买便宜的转手卖给贵的——市场会立刻抹平价差，这就是套利无法持续的原因

C−P=S0−Ke−rTC - P = S_0 - K e^{-rT}
3第 3 页 · 期权定价的基本无套利关系

认沽认购期权平价关系

无套利原则说：现金流相同的两组资产，价格必须相等。把认购、认沽、股票、债券凑成两组等价组合，就得到期权世界最经典的等式。

平价等式
C + Ke^(-rT) = P + S，认购加现金等于认沽加股票
等价组合
组合A：长认购+现金；组合B：长认沽+标的，到期价值相同
套利方向
等式若被打破，立刻可构造无风险套利把价差抹平
三大用途
合成期权头寸、检验定价偏差、推算隐含分红率
买成品整机 vs 自己买零件拼对应 →认购-认沽平价关系

两条路径得到同一份收益；路径成本若不同，套利立刻把价差抹平

C+Ke−rT=P+SC + Ke^{-rT} = P + S
4第 4 页 · 认沽认购期权平价关系

动态无套利均衡分析

上一页的认沽认购平价只锁定了到期那一瞬两个期权的关系。但市场不会等到到期才交易——今天发现五毛钱价差就能套，明天又可能冒出新窗口。动态分析要求每一刻都不留套利缝隙。

动态框架的核心
把一次性定价问题，扩展为连续多期可交易的均衡问题
逐期无套利
任意子区间都不能存在套利,否则跨段套利瞬间抹平价差
动态复制策略
随时间与价格连续调整 Δ 头寸,复现期权 payoff
鞅定价定理
无套利 ⇔ 存在风险中性测度 Q,折现价格在该测度下为鞅
开车不断微调方向盘对应 →动态对冲连续调仓

道路弯直变化=标的价波动；方向盘微调=对冲仓位；车不出轨=无套利均衡

Vt=e−r(T−t) EQ[ Payoff∣Ft ]V_t = e^{-r(T-t)}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\,\text{Payoff}\mid \mathcal{F}_t\,]
5第 5 页 · 动态无套利均衡分析

期权定价的二叉树方法

动态无套利说，只要能复制期权未来的现金流，今天的价格就能算出来——但'复制'具体怎么落地？二叉树给出了一个最直观的离散框架。

离散价格路径
将连续时间切成n步，每步价格按u或d两路分支；同价格节点合并形成可重复二叉树
风险中性概率
用无套利条件反推出p，使期望收益率等于无风险利率；p只由u、d、r决定，与真实概率无关
倒推定价
从到期日每个节点的期权收益出发，按贴现期望逐层回推，最终汇到树根得到当前价格
步数收敛
步数趋向无穷时，欧式期权价格收敛于Black-Scholes连续模型（如CRR参数选择）
从决赛结果倒推各轮比赛对应 →二叉树倒推定价

叶子节点是已知的到期收益，每个中间节点都按加权平均+贴现算回自身，最终在根部汇出今天的价格

f=e−rΔt[pfu+(1−p)fd],p=erΔt−du−df = e^{-r\Delta t}\left[p f_u + (1-p) f_d\right],\quad p = \frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}
6第 6 页 · 期权定价的二叉树方法

风险中性假设

风险中性假设：定义、要点与典型应用

风险中性假设
风险中性假设：定义、要点与典型应用
7第 7 页 · 风险中性假设

利用风险中性假设的二叉树

上一页说清了风险中性世界'所有人都只赚无风险利率'这条规则。但规则怎么变成具体的定价数字？答案是和二叉树结合：给每个分支配一个'假概率' q，把未来期望收益折现回来。

风险中性概率 q
不是真实涨跌概率，而是让股价期望增长率等于 r 的等效概率
二叉树定价公式
期权现价 = 折现因子 × [q·上行收益 + (1−q)·下行收益]
q 的边界约束
必须 0<q<1，否则二叉树参数(u, d, r) 本身就有套利
关键提醒
q 是计算工具，与真实涨跌无关；真实概率仍可能让股票大涨大跌
跑步机上的等效距离对应 →风险中性概率 q

表盘距离不是真跑了多远，但用它在二叉树上折现出的价格和无套利价格一致

q=1+r−du−d,f=e−rT[qfu+(1−q)fd]q = \dfrac{1+r-d}{u-d}, \quad f = e^{-rT}\left[q f_u + (1-q) f_d\right]
8第 8 页 · 利用风险中性假设的二叉树

本节要点

  • ✓无套利是定价的根——排除套利，就锁住唯一合理价格
  • ✓复制组合贯穿始终：平价关系、动态复制、二叉树都基于此
  • ✓风险中性思维：换到所有资产期望收益都等于r的假想世界
  • ✓二叉树是离散版动态复制，步数趋近无穷逼近连续模型
  • ✓易错：风险中性是定价工具，≠真实世界的预测
延伸主题：Black-Scholes连续模型推导期权希腊字母与动态对冲真实vs风险中性世界的偏差
9第 9 页 · 本节要点

课后思考

先独立想,再看参考答案。三个问题分别检验核心、应用与边界。

1为什么认沽认购期权平价关系一旦被市场违反,套利者就能无风险获利?具体如何构造头寸?

参考答案同时买入被低估的一侧、卖出被高估的一侧,锁定价差收益。平价关系的本质是:用两种不同方式构造相同的未来现金流,现值必须相等,否则即存在套利。

2风险中性世界里投资者都不要求风险溢价,这与现实完全相反。为什么这个'反直觉'假设反而能给出正确的期权价格?

参考答案无套利价格由可复制的现金流决定,不依赖真实风险偏好。风险中性测度只是计算工具——换一个世界的折现率,让求期望变简单,但最终价格仍满足无套利。

3二叉树步数趋于无穷时收敛到连续时间模型。但若标的资产价格出现跳空,或波动率随行权价变化(波动率微笑),二叉树还能准确定价吗?

参考答案不能。标准二叉树假设价格连续小幅波动、波动率为常数,无法刻画跳跃和波动率微笑。实际市场需用跳跃-扩散模型(如Merton)或局部波动率模型(如Dupire)来描述。

10第 10 页 · 课后思考