数学大学
可以转的世界
组合数学 · 群
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组合数学 · 群
伽罗华与群
伽罗华为研究方程可解性创立群论：对称性的数学从此诞生。
历史起点
五次以上方程无根式解的证明引出群
核心观念
研究对象的对称变换比对象本身更本质
群的定义
群 = 集合 + 满足四条的运算：封闭、结合、单位元、逆元。
四条公理
封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元
交换群
再多一条交换律即阿贝尔群
群的一些概念
群论基本词汇：子群、阶、循环群——先掌握这三个。
子群
群内对运算封闭的非空子集也成群
元素的阶
gⁿ=e 的最小正 n
循环群
一个元素的幂生成整个群
本节要点
- ✓群论源于方程可解性研究
- ✓四公理：封闭、结合、单位元、逆元
- ✓子群、阶、循环群是基本词汇
延伸主题：验证正三角形旋转对称成群找一个有限循环群的例子
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1群论为什么被称为「研究对称性的数学」？
参考答案一个图形或系统的对称操作（旋转、翻转）恰好满足群四公理：连续做两次仍是对称（封闭）、先后顺序的结合性、不动操作是单位元、每个对称可被逆操作抵消。群公理就是对称性的公理化。
2单位元与逆元在群定义里为什么缺一不可？
参考答案没有单位元，「什么都不做」无法表达；没有逆元，「操作可以撤销」没有保证。两者合起来保证群运算可逆、可反复组合——这正是对称操作与可逆变换的本质特征。
3结合律在群定义里为什么必不可少？
参考答案没有结合律，gⁿ 这类幂记号产生歧义（括号放哪结果不同），元素的阶也无从定义。结合律让乘积可以不加括号地书写，群的结构研究才有可能展开。