数学大学
函数极限的定义与性质
高等数学习题课 · 第三章 函数极限
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函数极限的定义与性质
高等数学习题课 · 第三章 函数极限
函数极限的定义（1）
函数极限的直观定义：x 趋近 x₀ 时 f(x) 无限接近常数 A。
趋近
x 沿定义域任意方式趋近 x₀
无关该点
与 f(x₀) 是否有定义无关
函数极限的定义（2）
ε-δ 精确定义：任意 ε 存在 δ，0<|x−x₀|<δ 时 |f(x)−A|<ε。
挑战结构
对每个 ε 找到对应的 δ
δ 可缩小
任一可行 δ 的更小值亦可行
函数极限的定义（3）
单侧极限与极限存在的充要条件：左右极限相等。
左右极限
分别从两侧趋近的极限
充要条件
左右极限存在且相等 ⇔ 极限存在
海涅定理
海涅定理连接数列与函数：归结原则把函数极限化为数列极限。
正向
函数极限存在 ⇒ 任意 xₙ→x₀ 的 f(xₙ) 同极限
反向应用
找到两列异值即证函数极限不存在
本节要点
- ✓ε-δ：任给 ε 找得到 δ
- ✓左右极限相等才有极限
- ✓海涅定理沟通数列与函数
延伸主题：用 ε-δ 证一个线性函数极限用海涅证一个极限不存在
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1ε-δ 定义中 x₀ 处为什么用挖心不等式 0<|x−x₀|？
参考答案极限只关心「趋近过程」的走向，与该点的函数值乃至有无定义完全无关。挖去 x₀ 后，可去间断点也能有极限，定义因此覆盖更广的场景。
2海涅定理证明「极限不存在」时怎么用？
参考答案找两列都趋于 x₀ 的点列，使其函数值趋于不同常数（或一列发散）；由海涅定理的逆否形式，函数极限必不存在。例如 sin(1/x) 在 0 点选取两列即得。
3为什么单侧极限在分段函数中格外重要？
参考答案分段函数在分界点两侧解析式不同，整体极限是否存在完全取决于两侧极限是否相等。取整函数、符号函数的间断性分析都从这里入手。