上页我们把'所有重排'整体叫做置换群。但'把第3本书挪到第1位'，到底是动作，还是对应关系？这页来厘清：置换，到底是什么。

同一置换 σ 有两种主流记号:左路两行法把映射排成上下两行;右路循环法把映射拆成闭合链。

上节我们用括号记号 (1 2 3) 写置换。这种形式有个正式名称——轮换，并可分为几种最基本的形态。

两个 cycle 前后相乘，谁先作用？函数复合的约定决定了结果。

上一页我们看到置换可以复合，复合结果仍是置换——这是把置换装进同一个集合的关键线索。现在问题来了：哪些置换放在一起会自洽？答案就是群。

前面用 cycle 把置换拆成一个个'环路'。最简单的环：只交换两个元素、其他一概不动——这就是 swap（对换）。

图形化展示两种对换的结构差异

上一页我们看过不同形态的 swap。现在问个更精细的问题：把置换拆成若干 swap，swap 个数的奇偶性随拆法改变吗？答案是固定——这就是置换的奇偶性，而每个 swap 都让该性质翻转一次。

任意置换都能拆成 swap 序列，方法固定，且 swap 总数的奇偶性唯一。

置换 (1 2 3) 可写成 (1 3)(1 2)，即两个 Swap 的复合。关于它的 Swap 分解，下列哪个说法一定成立？

拆开单个置换，我们已经很熟——cycle、swap、奇偶。但置换之间也有「血缘」：结构相同、只是元素换了名字的两个，关系最近。这种「血缘」最核心的刻画，就是共轭。

原置换 h 与元素映射 g 共同决定右侧结果——结构相同，仅元素被重命名。

上一页我们说 σ 和 τ 共轭,只要找到 π 让 τ = πσπ⁻¹ 即可。现在把视角放大:如果把整个群当成人群,共轭关系会把它们切成什么样的小圈子?

上支路看共轭怎样保留循环型；下支路从相同循环型反造重标，两支汇成“当且仅当”。

共轭类由 cycle type 唯一决定，判断共轭只需三步操作。

已知 σ=(1 3 5)(2 4)∈S₅，下列哪个置换与 σ 不共轭？

前面我们用 cycle type 把置换分组。但为什么要关心这个？当图形有对称性时，'看着不同'的配置可能本质是同一个——朴素计数会重复算。这是置换群计数要解决的。

上一节留了个问题：数清楚本质不同的方案靠的是轨道数。但直接数轨道很麻烦，Burnside 引理给了一条捷径——数每个置换'固定'了什么，再求平均。

Burnside 计数四步走：把抽象的「等价类数」变成一个能算的式子。

Cycle index 把 Burnside 的逐数固定点，简化为「按 cycle 长度分桶，再求平均」。

L17 按 cycle 长度分桶；L21 取平均得 cycle index；L25 把 xi 全部替换为 k 直接出答案；L30 用 Burnside 暴力枚举对照。

左路是 Burnside 的逐步枚举,右路是 Polya 的指标式,底部对比 S_n 下的代价。

• ✓置换可唯一分解为不相交 Cycle
• ✓共轭等价 ≡ Cycle Type 相同（完全分类）
• ✓任何置换有良定义的奇偶性，分解方式无关
• ✓等价类计数 = Burnside 对 |Fix(g)| 取平均
• ✓Polya 定理是 Burnside 的生成函数推广

• ✓Cycle type 是置换的指纹，唯一决定共轭类
• ✓置换奇偶性是全局不变量，与分解路径无关
• ✓群作用计数问题的核心：所有群元素的不动点之和
• ✓Polya 用 cycle index 多项式封装 Burnside 的结论

先自己想，再对照参考答案——三道题覆盖回顾、应用与迁移。