（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述
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线性系统理论 · 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述
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线性系统理论 · 第九周（第三部分：线性系统的复频域理论简介）：矩阵分式描述
LST5-0 复频域理论概论
复频域方法以多项式矩阵为语言：把频域设计的直观搬到多变量系统。
定位
介于状态空间与经典频域之间
语言
传递函数阵的矩阵分式描述
LST5-1-1 传递函数阵及其M
矩阵分式描述把传递函数阵写成多项式矩阵之比：右分解与左分解。
右 MFD
G=N_r D_r⁻¹，分子分母同为多项式阵
左 MFD
G=D_l⁻¹ N_l，等价的另一种写法
LST5-2-1 MFD的真性及其判
MFD 的真性看列次数：右 MFD 为真 ⇔ 每列分母次数不小于分子次数。
列次数判别
逐列比较 deg D_col 与 deg N_col
严格真
每列分子次数严格小于分母次数
LST5-2-2 由非真MFD导出严
非真 MFD 做多项式除法：拆出常数阵余项，余下部分严格真。
带余除法
G = 多项式阵 + 严格真部分
多项式阵余项
余项对应输入的直接馈通
LST5-3-1 不可简约MFD（一
不可简约 MFD：N 与 D 左右互质，没有公共的隐藏极零。
互质定义
存在单模阵满足贝祖恒等式
意义
互质 MFD 阶数最低，无冗余模态
LST5-3-2 不可简约MFD（二
不可简约 MFD 的唯一性：彼此只差右侧乘一个单模阵。
唯一性
两个互质 MFD 的分子分母相差单模阵
不变量
极点集与实现阶数在等价下不变
本节要点
- ✓MFD = 传递阵的多项式矩阵比式
- ✓真性看列次数，非真先除法拆项
- ✓互质 MFD 不可简约
- ✓互质 MFD 间只差单模变换
延伸主题：为一个传递阵求右 MFD判别一次 MFD 的真性
课后思考
先自己回答，再展开参考答案——能讲出来才算真懂。
1为什么多变量系统需要 MFD 而单变量不需要？
参考答案单变量传递函数是标量比式，天生就是「分子除分母」；多变量传递阵是矩阵，除法不再唯一，必须指定左乘或右乘的多项式矩阵形式——MFD 就是为矩阵「定义除法」的语言。
2不可简约 MFD 与最小实现有什么对应关系？
参考答案互质的 MFD 对应传递函数阵的最小实现：两者阶数相等、极零结构一致。不可简约性在频域与状态空间两个世界里说的是同一件事——没有隐藏模态。
3非真 MFD 拆出的「多项式阵余项」物理上对应什么？
参考答案多项式阵余项对应输入到输出的直接馈通（及其导数通道），即 D 矩阵部分。它的存在说明系统对输入是瞬时响应的，工程上意味着超出系统带宽的直接耦合。